Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Produto Vetorial
1
Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos e .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , em um espaço vetorial com base canônica. O objetivo é demonstrar que o valor absoluto do produto escalar desses vetores é menor ou igual ao produto das normas dos vetores, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Isso significa que multiplicamos os componentes correspondentes dos vetores e somamos esses resultados.
Passo 3
Também precisamos lembrar a definição da norma de um vetor. A norma de um vetor , denotada por , é a sua magnitude e é calculada da seguinte forma:
Isso nos dá o comprimento do vetor no espaço.
Passo 4
Agora, para provar a desigualdade , vamos utilizar a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Essa desigualdade estabelece exatamente essa relação entre o produto escalar e as normas dos vetores.
Passo 5
Vamos considerar a seguinte expressão, que sempre é não negativa:
Isso porque qualquer diferença de dois quadrados reais é sempre maior ou igual a zero.
Passo 6
Rearranjando essa expressão, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando que as normas são sempre positivas), obtemos: