Seja A e B vetores pertencentes ao espaço vetorial V^n, que possui base canônica i, j, k. Faça a demostração das propriedades: |A cdot B| <=|A| cdot|B|

Produto Vetorial

1
Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos A e B.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, A e B, em um espaço vetorial V^n com base canônica. O objetivo é demonstrar que o valor absoluto do produto escalar desses vetores é menor ou igual ao produto das normas dos vetores, ou seja, |A cdot B| <= |A| cdot |B|. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores A e B é dado por:
A cdot B = sumi=1^n Ai Bi
Isso significa que multiplicamos os componentes correspondentes dos vetores e somamos esses resultados.

Passo 3

Também precisamos lembrar a definição da norma de um vetor. A norma de um vetor A, denotada por |A|, é a sua magnitude e é calculada da seguinte forma:
|A| = raizA cdot A = raizsumi=1^n Ai^2
Isso nos dá o comprimento do vetor no espaço.

Passo 4

Agora, para provar a desigualdade |A cdot B| <= |A| cdot |B|, vamos utilizar a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Essa desigualdade estabelece exatamente essa relação entre o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 5

Vamos considerar a seguinte expressão, que sempre é não negativa:
|A|^2 |B|^2 - (A cdot B)^2 >= 0
Isso porque qualquer diferença de dois quadrados reais é sempre maior ou igual a zero.

Passo 6

Rearranjando essa expressão, temos:
|A|^2 |B|^2 >= (A cdot B)^2
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando que as normas são sempre positivas), obtemos:
|A| cdot |B| >= |A cdot B|

Resposta

Portanto, demonstramos que |A cdot B| <= |A| cdot |B|.

Exercícios relacionados