Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:

Produto Vetorial

1
Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , em um espaço vetorial com base canônica. O objetivo é demonstrar que o valor absoluto do produto escalar desses vetores é menor ou igual ao produto das normas dos vetores, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Isso significa que multiplicamos os componentes correspondentes dos vetores e somamos esses resultados.

Passo 3

Também precisamos lembrar a definição da norma de um vetor. A norma de um vetor , denotada por , é a sua magnitude e é calculada da seguinte forma:
Isso nos dá o comprimento do vetor no espaço.

Passo 4

Agora, para provar a desigualdade , vamos utilizar a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Essa desigualdade estabelece exatamente essa relação entre o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 5

Vamos considerar a seguinte expressão, que sempre é não negativa:
Isso porque qualquer diferença de dois quadrados reais é sempre maior ou igual a zero.

Passo 6

Rearranjando essa expressão, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando que as normas são sempre positivas), obtemos:

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Estude a posição relativa das retas e .
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Determinantes

1
Calcule o determinante genérico da matriz . Utilize a soma , no qual, é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.
Sabendo que e que e formam ângulo de , determinar:
(a) ;
(b) .