Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o produto escalar de dois vetores e no espaço vetorial é igual à soma dos produtos das suas componentes, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele funciona com a base canônica .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor em pode ser escrito em função da base canônica. Então, temos:
E o mesmo vale para :
Cada e são as componentes dos vetores e respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso mesmo, a definiç��o do produto escalar nos leva diretamente a essa expressão.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a notação de somatório. A soma de todas as multiplicações das componentes pode ser escrita de forma compacta como:
Aqui, o índice percorre todas as componentes dos vetores, desde a primeira até a enésima.

Passo 5

Então, juntando tudo, mostramos que o produto escalar entre e realmente é a soma dos produtos das suas componentes. Isso valida a propriedade que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

Exercícios relacionados

Estude a posição relativa das retas e .
©
Considere os vetores e . Represente geometricamente os vetores e .
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:

Produto Vetorial

1
Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos e .

Determinantes

1
Calcule o determinante genérico da matriz . Utilize a soma , no qual, é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.