Seja A e B vetores pertencentes ao espaço vetorial V^n, que possui base canônica i, j, k. Faça a demostração das propriedades: A cdot B=sumi=1^n ai bi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o produto escalar de dois vetores A e B no espaço vetorial V^n é igual à soma dos produtos das suas componentes, ou seja, A cdot B = sumi=1^n ai bi. Para isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele funciona com a base canônica i, j, k.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor A em V^n pode ser escrito em função da base canônica. Então, temos:
A = a1i + a2j + a3k + dots + anen
E o mesmo vale para B:
B = b1i + b2j + b3k + dots + bnen
Cada ai e bi são as componentes dos vetores A e B respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. Matemáticamente, isso é expresso como:
A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 + dots + anbn
Isso mesmo, a definiç��o do produto escalar nos leva diretamente a essa expressão.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a notação de somatório. A soma de todas as multiplicações das componentes pode ser escrita de forma compacta como:
A cdot B = sumi=1^n ai bi
Aqui, o índice i percorre todas as componentes dos vetores, desde a primeira até a enésima.

Passo 5

Então, juntando tudo, mostramos que o produto escalar entre A e B realmente é a soma dos produtos das suas componentes. Isso valida a propriedade que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
A cdot B = sumi=1^n ai bi

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