Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o produto escalar de dois vetores e no espaço vetorial é igual à soma dos produtos das suas componentes, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele funciona com a base canônica .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor em pode ser escrito em função da base canônica. Então, temos:
E o mesmo vale para :
Cada e são as componentes dos vetores e respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso mesmo, a definiç��o do produto escalar nos leva diretamente a essa expressão.
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a notação de somatório. A soma de todas as multiplicações das componentes pode ser escrita de forma compacta como:
Aqui, o índice percorre todas as componentes dos vetores, desde a primeira até a enésima.
Passo 5
Então, juntando tudo, mostramos que o produto escalar entre e realmente é a soma dos produtos das suas componentes. Isso valida a propriedade que queríamos demonstrar.