Determinar o ângulo formado pela reta
r:l y=-2 x z=2 x+1
e o plano pi: x-y+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . Aqui, estamos lidando com Geometria Espacial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre uma reta e um plano, que envolve vetores diretores da reta e o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão nos ajudar. A reta y = -2x e z = 2x + 1 está dada pelas equações paramétricas:
x = t, y = -2t, z = 2t + 1
Podemos reescrever isso em forma paramétrica usando um parâmetro d = 1 -2 2 :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal x - y + 5 = 0 do plano n = 1 -1 0 . A equação geral do plano é:
Os coeficientes de , e nos dão o vetor normal, então:

Passo 4

O ângulo theta = 90^circ - alpha entre a reta e o plano é complementares ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
d cdot n = |d| |n| cos alpha
onde é o ângulo entre e . Para encontrar , usamos o produto escalar:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar d cdot n = (1)(1) + (-2)(-1) + (2)(0) = 1 + 2 + 0 = 3 :
|d| = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Agora, as normas dos vetores:
|n| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
3 = 3 times raiz2 times cos alpha implies cos alpha = 33 raiz2 = 1raiz2
Portanto:
alpha = arccos( 1raiz2 ) = 45^circ

Resposta

O ângulo formado pela reta e o plano é de .

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