Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . Aqui, estamos lidando com Geometria Espacial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre uma reta e um plano, que envolve vetores diretores da reta e o vetor normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que vão nos ajudar. A reta está dada pelas equações paramétricas:
Podemos reescrever isso em forma paramétrica usando um parâmetro :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal x - y + 5 = 0 do plano n = 1 -1 0 . A equação geral do plano é:
Os coeficientes de , e nos dão o vetor normal, então:
Passo 4
O ângulo theta = 90^circ - alpha entre a reta e o plano é complementares ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
d cdot n = |d| |n| cos alpha
onde é o ângulo entre e . Para encontrar , usamos o produto escalar:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar d cdot n = (1)(1) + (-2)(-1) + (2)(0) = 1 + 2 + 0 = 3 :