Determinar o ângulo formado pela reta
e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . Aqui, estamos lidando com Geometria Espacial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre uma reta e um plano, que envolve vetores diretores da reta e o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão nos ajudar. A reta está dada pelas equações paramétricas:
Podemos reescrever isso em forma paramétrica usando um parâmetro :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano . A equação geral do plano é:
Os coeficientes de , e nos dão o vetor normal, então:

Passo 4

O ângulo entre a reta e o plano é complementares ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
onde é o ângulo entre e . Para encontrar , usamos o produto escalar:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Agora, as normas dos vetores:

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
Portanto:

Resposta

O ângulo formado pela reta e o plano é de .

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  1. e são .