Sejam T R^2 R^2 um operador linear, v1=(1,-2), v2=(3,5) autovetores associados aos autovalores lambda1=2 e lambda2=-1. Determine T(5,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de operadores lineares juntos! O que temos aqui é um operador linear que age no plano. Foram fornecidos dois vetores, e , que são chamados de autovetores de . Cada um deles está associado a um número especial chamado autovalor: para e para . Nosso objetivo é descobrir como age sobre o vetor .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um operador linear. Basicamente, um operador linear é uma função que respeita duas propriedades importantes:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que, se conseguirmos expressar o vetor como uma combinação dos autovetores e , podemos aplicar de forma simples usando esses autovalores.

Passo 3

Nosso primeiro passo é escrever (5, 2) = a cdot v1 + b cdot v2 = a cdot (1, -2) + b cdot (3, 5) como uma combinação linear dos autovetores a + 3b = 5 -2a + 5b = 2 e . Ou seja, queremos encontrar números e tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 2a + 6b = 10 e (2a + 6b) + (-2a + 5b) = 10 + 2 11b = 12 b = 1211 . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Optaremos pela eliminação aqui.
Multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de a + 3 ( 1211 ) = 5 a + 3611 = 5 a = 5 - 3611 a = 5511 - 3611 a = 1911 :
Agora, somamos essa equação com a segunda equação original:
Agora, substituímos o valor de na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos (5, 2) = 1911 cdot v1 + 1211 cdot v2 e , podemos expressar como:

Passo 6

Sabemos que T(5, 2) = T( 1911 cdot v1 + 1211 cdot v2 ) = 1911 cdot T(v1) + 1211 cdot T(v2) é linear, então:

Passo 7

Como T(v1) = lambda1 cdot v1 = 2 cdot (1, -2) = (2, -4) T(v2) = lambda2 cdot v2 = -1 cdot (3, 5) = (-3, -5) e são autovetores com autovalores e respectivamente, sabemos que:

Passo 8

Substituindo esses resultados na expressão anterior:
T(5, 2) = 1911 cdot (2, -4) + 1211 cdot (-3, -5)
Vamos multiplicar cada escalar pelo vetor correspondente:
1911 cdot (2, -4) = ( 3811, -7611 ) 1211 cdot (-3, -5) = ( -3611, -6011 )

Passo 9

Agora, somamos os dois vetores resultantes:
( 3811, -7611 ) + ( -3611, -6011 ) = ( 38 - 3611, -76 + 6011 ) = ( 211, -13611 )

Resposta

Então, o resultado de T(5, 2) = ( 211, -13611 ) é:

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