Sejam
um operador linear,
autovetores associados aos autovalores
e
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de operadores lineares juntos! O que temos aqui é um operador linear
que age no plano. Foram fornecidos dois vetores,
e
, que são chamados de autovetores de
. Cada um deles está associado a um número especial chamado autovalor:
para
e
para
. Nosso objetivo é descobrir como
age sobre o vetor
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um operador linear. Basicamente, um operador linear é uma função que respeita duas propriedades importantes:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Isso significa que, se conseguirmos expressar o vetor
como uma combinação dos autovetores
e
, podemos aplicar
de forma simples usando esses autovalores.
Passo 3
Nosso primeiro passo é escrever
como uma combinação linear dos autovetores
e
. Ou seja, queremos encontrar números
e
tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Optaremos pela eliminação aqui.
Multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, somamos essa equação com a segunda equação original:
Agora, substituímos o valor de
na primeira equação:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos expressar
como:
Passo 6
Sabemos que
é linear, então:
Passo 7
Como
e
são autovetores com autovalores
e
respectivamente, sabemos que:
Passo 8
Substituindo esses resultados na expressão anterior:
Vamos multiplicar cada escalar pelo vetor correspondente:
Passo 9
Agora, somamos os dois vetores resultantes:
Resposta
Então, o resultado de
é: