Sejam um operador linear, autovetores associados aos autovalores e . Determine

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de operadores lineares juntos! O que temos aqui é um operador linear que age no plano. Foram fornecidos dois vetores, e , que são chamados de autovetores de . Cada um deles está associado a um número especial chamado autovalor: para e para . Nosso objetivo é descobrir como age sobre o vetor .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um operador linear. Basicamente, um operador linear é uma função que respeita duas propriedades importantes:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que, se conseguirmos expressar o vetor como uma combinação dos autovetores e , podemos aplicar de forma simples usando esses autovalores.

Passo 3

Nosso primeiro passo é escrever como uma combinação linear dos autovetores e . Ou seja, queremos encontrar números e tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Optaremos pela eliminação aqui.
Multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, somamos essa equação com a segunda equação original:
Agora, substituímos o valor de na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos e , podemos expressar como:

Passo 6

Sabemos que é linear, então:

Passo 7

Como e são autovetores com autovalores e respectivamente, sabemos que:

Passo 8

Substituindo esses resultados na expressão anterior:
Vamos multiplicar cada escalar pelo vetor correspondente:

Passo 9

Agora, somamos os dois vetores resultantes:

Resposta

Então, o resultado de é:

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  2. , para todo .