Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
  1. |u|=|v| Leftrightarrowlang<= u+v, u-vrang<==0
  2. |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 Leftrightarrowlang<= u, vrang<==0
  3. |lang<= u, vrang<=|=|u| |v| Leftrightarrow u e v são L D.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um espaço Euclidiano e queremos provar três equivalências envolvendo a norma dos vetores e e o produto interno entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da norma, produto interno e conceitos de dependência linear.

Passo 2

Prova da primeira equivalência:
Queremos mostrar que:
|u| = |v| Leftrightarrow lang<= u + v, u - v rang<= = 0
Vamos começar com a direção direta ( lang<= u + v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= - lang<= v, v rang<= ):
Assume que lang<= u + v, u - v rang<= = |u|^2 - |v|^2 = 0 . Vamos calcular o produto interno:
0 = |u|^2 - |v|^2
Como e , temos:
Portanto, .
Agora, a direção inversa ( ):
Assume que . Usando a mesma expansão:
Logo, .

Passo 3

Prova da segunda equival��ncia:
Queremos mostrar que:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 Leftrightarrow lang<= u, v rang<= = 0
Direção direta ( |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 ):
Se |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2 , então:
2lang<= u, v rang<= = 0 Rightarrow lang<= u, v rang<= = 0
Igualando às duas expressões:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2
Cancelando os termos iguais:
Direção inversa ( ):
Se , então:

Passo 4

Prova da terceira equivalência:
Queremos mostrar que:
|lang<= u, v rang<=| = |u| cdot |v| Leftrightarrow u e v são linearmente dependentes ã
Direção direta ( lang<= u, v rang<= = lang<= k v, v rang<= = k |v|^2 ):
Se |u| cdot |v| = |k| |v| cdot |v| = |k| |v|^2 , isso significa que o cosseno do ângulo entre e é , ou seja, e estão na mesma direção ou em direções opostas. Portanto, e são linearmente dependentes.
Direção inversa ( ):
Se e são linearmente dependentes, existe um escalar tal que . Então:
E:
Portanto, .

Resposta

Propriedades demonstradas:
  1. se e somente se .
  2. se e somente se .
  3. se e somente se e são linearmente dependentes.

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