Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
  1. e são .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um espaço Euclidiano e queremos provar três equivalências envolvendo a norma dos vetores e e o produto interno entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da norma, produto interno e conceitos de dependência linear.

Passo 2

Prova da primeira equivalência:
Queremos mostrar que:
Vamos começar com a direção direta ( ):
Assume que . Vamos calcular o produto interno:
Como e , temos:
Portanto, .
Agora, a direção inversa ( ):
Assume que . Usando a mesma expansão:
Logo, .

Passo 3

Prova da segunda equival��ncia:
Queremos mostrar que:
Direção direta ( ):
Se , então:
Igualando às duas expressões:
Cancelando os termos iguais:
Direção inversa ( ):
Se , então:

Passo 4

Prova da terceira equivalência:
Queremos mostrar que:
ã
Direção direta ( ):
Se , isso significa que o cosseno do ângulo entre e é , ou seja, e estão na mesma direção ou em direções opostas. Portanto, e são linearmente dependentes.
Direção inversa ( ):
Se e são linearmente dependentes, existe um escalar tal que . Então:
E:
Portanto, .

Resposta

Propriedades demonstradas:
  1. se e somente se .
  2. se e somente se .
  3. se e somente se e são linearmente dependentes.

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Determinar o ângulo formado pela reta
e o plano .
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  2. , para todo .
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e as bases e . Determinar:
a) a matriz de nas bases e ;
b) a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de ;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.