Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
-
-
-
e
são
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um espaço Euclidiano
e queremos provar três equivalências envolvendo a norma dos vetores
e
e o produto interno entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da norma, produto interno e conceitos de dependência linear.
Passo 2
Prova da primeira equivalência:
Queremos mostrar que:
Vamos começar com a direção direta (
):
Assume que
. Vamos calcular o produto interno:
Como
e
, temos:
Portanto,
.
Agora, a direção inversa (
):
Assume que
. Usando a mesma expansão:
Logo,
.
Passo 3
Prova da segunda equival��ncia:
Queremos mostrar que:
Direção direta (
):
Se
, então:
Igualando às duas expressões:
Cancelando os termos iguais:
Direção inversa (
):
Se
, então:
Passo 4
Prova da terceira equivalência:
Queremos mostrar que:
Direção direta (
):
Se
, isso significa que o cosseno do ângulo entre
e
é
, ou seja,
e
estão na mesma direção ou em direções opostas. Portanto,
e
são linearmente dependentes.
Direção inversa (
):
Se
e
são linearmente dependentes, existe um escalar
tal que
. Então:
E:
Portanto,
.
Resposta
Propriedades demonstradas:
-
se e somente se . -
se e somente se . -
se e somente se e são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Sejam
um operador linear,
autovetores associados aos autovalores
e
. Determine
Determinar o ângulo formado pela reta
e o plano
.
Seja
um espaço Euclidiano e
a métrica usual de
. Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre
.
-
, para todo . -
, para todo .
Seja a transformação linear
e as bases
e
. Determinar:
a) a matriz de nas bases
e
;
b) a matriz de nas bases
e
, sendo
a base canônica de
;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
a) a matriz de
b) a matriz de
c) a matriz canônica de
d)