Sejam e matrizes . Mostre que é antissimétrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Sejam e matrizes . Mostre que é antissimétrica.” Neste exercício, estamos trabalhando com matrizes e propriedades de simetria. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz antissimétrica e como transpor uma matriz. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se, ao transpor a matriz, ela se torna o negativo da própria matriz. Ou seja:
Isso significa que, se você trocar as linhas pelas colunas da matriz , cada elemento será o oposto do elemento correspondente na matriz original.

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz . Precisamos mostrar que essa matriz é antissimétrica. Para isso, vamos transpor e ver se ela é igual a .
Primeiro, aplicamos a transposição:
Sabemos que a transposição de uma transposição retorna a matriz original, ou seja, . Então:

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com :
Vemos que:
Isso significa que:
Portanto, satisfaz a condição para ser uma matriz antissimétrica.

Resposta

Assim, mostramos que é uma matriz antissimétrica porque, ao transpor, obtemos o negativo da própria matriz.

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sejam paralelos.
Determinar o ângulo formado pela reta
e o plano .