Sejam A e B matrizes n times n. Mostre que A-A^t é antissimétrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Sejam e matrizes . Mostre que é antissimétrica.” Neste exercício, estamos trabalhando com matrizes e propriedades de simetria. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz antissimétrica e como transpor uma matriz. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz M^t = -M é antissimétrica se, ao transpor a matriz, ela se torna o negativo da própria matriz. Ou seja:
Isso significa que, se você trocar as linhas pelas colunas da matriz , cada elemento será o oposto do elemento correspondente na matriz original.

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz (A - A^t)^t = A^t - (A^t)^t . Precisamos mostrar que essa matriz é antissimétrica. Para isso, vamos transpor (A - A^t)^t = A^t - A e ver se ela é igual a .
Primeiro, aplicamos a transposição:
Sabemos que a transposição de uma transposição retorna a matriz original, ou seja, . Então:

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com - (A - A^t) = -A + A^t = A^t - A :
(A - A^t)^t = A^t - A = - (A - A^t)
Vemos que:
(A - A^t)^t = - (A - A^t)
Isso significa que:
Portanto, satisfaz a condição para ser uma matriz antissimétrica.

Resposta

Assim, mostramos que é uma matriz antissimétrica porque, ao transpor, obtemos o negativo da própria matriz.

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