Determinar o ângulo entre os planos
е

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para determinar o ângulo entre dois planos no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente envolvendo vetores normais e o cálculo do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada plano no espaço pode ser representado por uma equação do tipo . Os coeficientes , e formam o chamado vetor normal ao plano, que é perpendicular ao próprio plano.

Passo 3

Vamos identificar os vetores normais de cada plano dado:
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

O ângulo entre os planos é igual ao ângulo entre os seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo , usamos a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
Aqui, é o produto escalar, e e são as magnitudes dos vetores normais.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores normais:

Passo 7

Substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:

Passo 8

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco-cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos e é de 30 graus.

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Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
e
Escreva uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano .
Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
e
Responda verdadeiro ou falso para cada afirmativa abaixo. Justifique.
(a)