Determinar o ângulo entre os planos
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para determinar o ângulo entre dois planos no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente envolvendo vetores normais e o cálculo do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que cada plano no espaço pode ser representado por uma equação do tipo
. Os coeficientes
,
e
formam o chamado vetor normal ao plano, que é perpendicular ao próprio plano.
Passo 3
Vamos identificar os vetores normais de cada plano dado:
- Para o plano
, o vetor normal é . - Para o plano
, o vetor normal é .
Passo 4
O ângulo entre os planos é igual ao ângulo entre os seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo
, usamos a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
Aqui,
é o produto escalar, e
e
são as magnitudes dos vetores normais.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores normais:
Passo 7
Substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Passo 8
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco-cosseno:
Resposta
O ângulo entre os planos
e
é de 30 graus.
Exercícios relacionados
Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
e
Escreva uma equação geral do plano
que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.
Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
e
Responda verdadeiro ou falso para cada afirmativa abaixo. Justifique.
(a)
(a)