Determinar o ângulo entre os planos
pi1: 2 x+y-z+3=0 е pi2: x+y-4=0 е

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para determinar o ângulo entre dois planos no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente envolvendo vetores normais e o cálculo do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada plano no espaço pode ser representado por uma equação do tipo . Os coeficientes , e formam o chamado vetor normal ao plano, que é perpendicular ao próprio plano.

Passo 3

Vamos identificar os vetores normais de cada plano dado:
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

O ângulo entre os planos é igual ao ângulo entre os seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo cos theta = |n1 cdot n2||n1| , |n2| , usamos a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
Aqui, é o produto escalar, e e são as magnitudes dos vetores normais.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (2)(1) + (1)(1) + (-1)(0) = 2 + 1 + 0 = 3 :

Passo 6

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores normais:
|n1| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 7

Substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos theta = 3raiz6 times raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta = arccos(raiz32) = 30^circ , usamos a função arco-cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos e é de 30 graus.

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