Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(h) Se A^2=A A=0, então A=0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes. A afirmação é: “Se , então .” Precisamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de matrizes nilpotentes, que são matrizes não nulas que, elevadas a alguma potência, resultam na matriz zero.

Passo 2

Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos analisar se toda matriz que ao ser multiplicada por si mesma dá zero necessariamente é a matriz zero. Se encontrarmos até mesmo uma única matriz diferente de zero que satisfaça , já teremos um contra-exemplo que prova que a afirmação é falsa.

Passo 3

Vamos considerar a seguinte matriz A = 0 & 1 0 & 0 :
A^2 = A times A = 0 & 1 0 & 0 times 0 & 1 0 & 0 = 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 = 0 & 0 0 & 0 = 0
Agora, vamos calcular :

[
A^{2} = A \times A =
\times


= 0
]
Observamos que , mas claramente , já que há elementos diferentes de zero na matriz .

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a matriz
A = 0 & 1 0 & 0
que satisfaz , mas não é a matriz nula.

Exercícios relacionados