Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(h) Se
, então
;
(h) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes. A afirmação é: “Se
, então
.” Precisamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de matrizes nilpotentes, que são matrizes não nulas que, elevadas a alguma potência, resultam na matriz zero.
Passo 2
Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos analisar se toda matriz que ao ser multiplicada por si mesma dá zero necessariamente é a matriz zero. Se encontrarmos até mesmo uma única matriz diferente de zero que satisfaça
, já teremos um contra-exemplo que prova que a afirmação é falsa.
Passo 3
Vamos considerar a seguinte matriz
:
Agora, vamos calcular
:
[
A^{2} = A \times A =
\times
= 0
]
Observamos que
, mas claramente
, já que há elementos diferentes de zero na matriz
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a matriz
que satisfaz
, mas
não é a matriz nula.