Determinar o angulo entre as seguintes retas:
c) r1:lx=1+raiz2 t y=t z=5-3 t e r2:lx=3 y=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e o ângulo entre eles. Para isso, precisaremos identificar os vetores diretores de cada reta e aplicar a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r1: l x = 1 + raiz2 t y = t z = 5 - 3 t e d1 = ( raiz2, 1, -3 ) .
Para a reta r2: l x = 3 y = 2 :
d2 = ( 0, 0, 1 )
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Para a reta :
Aqui, e são constantes, o que significa que pode variar livremente. Portanto, a reta é paralela ao eixo , e seu vetor diretor é:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar:
cos theta = d1 cdot d2 |d1| cdot |d2|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar d1 cdot d2 = (raiz2) cdot 0 + 1 cdot 0 + (-3) cdot 1 = 0 + 0 - 3 = -3 :

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|d1| = raiz (raiz2)^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz2 + 1 + 9 = raiz12 = 2raiz3
|d2| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos theta = -3 2raiz3 cdot 1 = -3 2raiz3
Simplificando:
cos theta = -raiz3 2
Como estamos interessados no ângulo agudo entre as retas, podemos desconsiderar o sinal negativo:
cos theta = raiz3 2

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo cujo cosseno é cos 30^circ = raiz3 2 . Sabemos que:
theta = 30^circ
Portanto:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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