Se uma matriz quadrada A é tal que , ela é chamada de simétrica. Já se uma matriz quadrada A é tal que , ela é chamada de anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:
Determine o valor dos termos a12, a13 e a23
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes anti-simétricas. Matrizes anti-simétricas são aquelas onde a transposta da matriz é igual ao negativo dela mesma, ou seja, . Neste exercício, temos a matriz dada e precisamos encontrar os valores de e . Para resolver isso, vamos usar a propriedade das matrizes anti-simétricas e comparar os elementos correspondentes da matriz e da sua transposta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz M = 4 + a & a12 & a13 a & b + 2 & a23 b & c & 2c - 8 e a sua transposta M^t = 4 + a & a & b a12 & b + 2 & c a13 & a23 & 2c - 8 :
A transposta de é obtida trocando linhas por colunas:
Passo 3
Como 4 + a = -(4 + a) a = -a12 b = -a13 a12 = -a b + 2 = -(b + 2) c = -a23 a13 = -b a23 = -c 2c - 8 = -(2c - 8) é anti-simétrica, temos que . Isso significa que cada elemento da transposta deve ser igual ao negativo do elemento correspondente na matriz original. Vamos igualar elemento por elemento:
Passo 4
Vamos resolver essas equações uma por uma:
4 + a = -4 - a 4 + a + a + 4 = 0 2a + 8 = 0 2a = -8 a = -4 :
b + 2 = -b - 2 b + b + 2 + 2 = 0 2b + 4 = 0 2b = -4 b = -2