Tem-se A=(2,5), B=(4,2), C=(3,4) e D=(0, y). Para qual valor de y as retas A B e C D são perpendiculares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos quatro pontos no plano: , , e . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que as retas e sejam perpendiculares. Para isso, vamos precisar trabalhar com a inclinação das retas e usar a propriedade de que retas perpendiculares têm inclinações cujos produtos são iguais a -1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta m = y2 - y1x2 - x1 . A fórmula para a inclinação (coeficiente angular) entre dois pontos mAB = 2 - 54 - 2 = -32 = -32 e é:
Aplicando isso para os pontos e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta mCD = y - 40 - 3 = y - 4-3 = -y - 43 . Sabemos que o ponto é e o ponto é . Usando a mesma fórmula:

Passo 4

Como queremos que as retas mAB times mCD = -1 e -32 times (-y - 43) = -1 sejam perpendiculares, os coeficientes angulares devem satisfazer:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
-32 times -y - 43 = 32 times y - 43 = y - 42 = -1
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
y - 4 = -2

Passo 6

Agora, isolamos y = -2 + 4 adicionando 4 em ambos os lados:
y = 2

Resposta

O valor de que torna as retas e perpendiculares é .

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