Tem-se e . Para qual valor de as retas e são perpendiculares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos quatro pontos no plano: , , e . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que as retas e sejam perpendiculares. Para isso, vamos precisar trabalhar com a inclinação das retas e usar a propriedade de que retas perpendiculares têm inclinações cujos produtos são iguais a -1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . A fórmula para a inclinação (coeficiente angular) entre dois pontos e é:
Aplicando isso para os pontos e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta . Sabemos que o ponto é e o ponto é . Usando a mesma fórmula:

Passo 4

Como queremos que as retas e sejam perpendiculares, os coeficientes angulares devem satisfazer:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

Passo 6

Agora, isolamos adicionando 4 em ambos os lados:

Resposta

O valor de que torna as retas e perpendiculares é .

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Sejam e , com . Ache de modo que o ponto seja o terceiro vértice do triângulo equilátero .
Determine o ângulo entre o plano e o plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .
Determinar o ângulo entre as seguintes retas: e
Determine se os vetores abaixo formam um conjunto linearmente dependente (L.D) ou independente (L.I).
e