Sejam
e
, com
. Ache
de modo que o ponto
seja o terceiro vértice do triângulo equilátero
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no plano,
e
, e queremos encontrar o valor de
tal que o ponto
forme um triângulo equilátero com
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância entre pontos, e as propriedades dos triângulos equiláteros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo equilátero todos os lados têm o mesmo comprimento. Então, as distâncias entre
e
,
e
, e
e
devem ser iguais. Vamos calcular essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Passo 3
Vamos calcular a distância entre
e
:
Agora, vamos calcular a distância entre
e
:
Como o triângulo é equilátero,
:
Passo 4
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o termo
:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são:
Exercícios relacionados
Determine o ângulo entre o plano
e o plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
.
(a)
(b)
©
Tem-se
e
. Para qual valor de
as retas
e
são perpendiculares?
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
e