Sejam A=(a, 0) e B=(0, a), com a neq 0. Ache x de modo que o ponto C=(x, x) seja o terceiro vértice do triângulo equilátero A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no plano, e , e queremos encontrar o valor de tal que o ponto forme um triângulo equilátero com e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância entre pontos, e as propriedades dos triângulos equiláteros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo equilátero todos os lados têm o mesmo comprimento. Então, as distâncias entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e , e , e e devem ser iguais. Vamos calcular essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos e :

Passo 3

Vamos calcular a distância entre dAB = raiz(0 - a)^2 + (a - 0)^2 = raiza^2 + a^2 = raiz2a^2 = araiz2 e dAC = raiz(x - a)^2 + (x - 0)^2 = raiz(x - a)^2 + x^2 :
raiz(x - a)^2 + x^2 = araiz2
Agora, vamos calcular a distância entre e :
Como o triângulo é equilátero, :

Passo 4

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - a)^2 + x^2 = 2a^2
Expandindo o termo x^2 - 2ax + a^2 + x^2 = 2a^2 :
2x^2 - 2ax + a^2 = 2a^2
Somando os termos semelhantes:
2x^2 - 2ax - a^2 = 0
Subtraindo x^2 - ax - a^22 = 0 de ambos os lados:
x = a pm raiza^2 + 2a^22 = a pm raiz3a^22 = a pm araiz32 = a( 1 pm raiz32 )
Dividindo toda a equação por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de x = a( 1 + raiz32 ) e x = a( 1 - raiz32 ) que satisfazem a condição são:

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