Sejam e , com . Ache de modo que o ponto seja o terceiro vértice do triângulo equilátero .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no plano, e , e queremos encontrar o valor de tal que o ponto forme um triângulo equilátero com e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância entre pontos, e as propriedades dos triângulos equiláteros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo equilátero todos os lados têm o mesmo comprimento. Então, as distâncias entre e , e , e e devem ser iguais. Vamos calcular essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos e :

Passo 3

Vamos calcular a distância entre e :
Agora, vamos calcular a distância entre e :
Como o triângulo é equilátero, :

Passo 4

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o termo :
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são:

Exercícios relacionados

Determine o ângulo entre o plano e o plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .
e . Determine:
(a) ;
(b) ;
© .
Tem-se e . Para qual valor de as retas e são perpendiculares?
Determinar o ângulo entre as seguintes retas: e