Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(b)
, onde
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
, definida por
, é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformação linear. Vamos analisar cada um desses aspectos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função
é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes no domínio resultam em elementos diferentes no contradomínio. Em termos mais simples, se
então
.
Vamos supor que
:
Isso nos dá duas equações:
Da primeira equação, vemos que
, o que confirma que
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo
, existe um
tal que
.
A imagem de
é sempre da forma
. Isso significa que o segundo componente é sempre 2, independentemente de
. Portanto, nem todos os pares
em
podem ser alcançados, a menos que
. Logo, a função
não é sobrejetora porque existem elementos no contradomínio que não têm pré-imagem na função
.
Passo 4
Como vimos,
é injetora, mas não é sobrejetora. Para ser bijetora, a função precisa ser injetora e sobrejetora. Já que
não é sobrejetora, concluímos que ela não é bijetora.
Passo 5
Por último, vamos analisar se
é uma transformação linear. Uma função
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
em
e quaisquer escalares
, as seguintes propriedades são satisfeitas:
Vamos verificar essas propriedades para
.
Primeiro, somando dois elementos:
Enquanto:
Como
a menos que
, o que não é verdadeiro, a primeira propriedade não é satisfeita.
Além disso, para a multiplicação por escalar:
Enquanto:
Novamente,
a menos que
, o que só acontece para
.
Como as propriedades não são satisfeitas, a função
não é uma transformação linear.
Resposta
A função
é injetora, não é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.