Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(b) F: R R^2, onde F(x)=(x, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função , definida por , é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformação linear. Vamos analisar cada um desses aspectos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função (x1, 2) = (x2, 2) é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes no domínio resultam em elementos diferentes no contradomínio. Em termos mais simples, se x1 = x2 e 2 = 2 então .
Vamos supor que :
Isso nos dá duas equações:
Da primeira equação, vemos que , o que confirma que é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo , existe um tal que .
A imagem de é sempre da forma . Isso significa que o segundo componente é sempre 2, independentemente de . Portanto, nem todos os pares em podem ser alcançados, a menos que . Logo, a função não é sobrejetora porque existem elementos no contradomínio que não têm pré-imagem na função .

Passo 4

Como vimos, é injetora, mas não é sobrejetora. Para ser bijetora, a função precisa ser injetora e sobrejetora. Já que não é sobrejetora, concluímos que ela não é bijetora.

Passo 5

Por último, vamos analisar se F(x1 + x2) = (x1 + x2, 2) é uma transformação linear. Uma função F(x1) + F(x2) = (x1, 2) + (x2, 2) = (x1 + x2, 4) entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores F(cx) = (cx, 2) em cF(x) = c(x, 2) = (cx, 2c) e quaisquer escalares , as seguintes propriedades são satisfeitas:
Vamos verificar essas propriedades para .
Primeiro, somando dois elementos:
Enquanto:
Como a menos que , o que não é verdadeiro, a primeira propriedade não é satisfeita.
Além disso, para a multiplicação por escalar:
Enquanto:
Novamente, a menos que , o que só acontece para .
Como as propriedades não são satisfeitas, a função não é uma transformação linear.

Resposta

A função é injetora, não é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.

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