Determinar o ângulo entre os vetores:
u=(1,-2,1) e v=(-1,1,0)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-1,1,0). Esse problema está relacionado à álgebra vetorial, especificamente ao cálculo do ângulo entre dois vetores. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar dos vetores e as normas (comprimentos) de cada vetor.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o ângulo theta entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = ||u|| cdot ||v|| cdot cos(theta)
Isso significa que, para encontrar o ângulo, precisamos calcular o produto escalar dos vetores, as normas de cada vetor e então resolver para theta.

Passo 3

Calculando o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(-1) + (-2)(1) + (1)(0) = -1 -2 + 0 = -3

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores u e v.
A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Aplicando isso aos nossos vetores:
Para u:
||u|| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Para v:
||v|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar para encontrar cos(theta):
-3 = raiz6 cdot raiz2 cdot cos(theta)
Simplificando:
-3 = raiz12 cdot cos(theta) -3 = 2raiz3 cdot cos(theta)

Passo 6

Resolvendo para cos(theta):
cos(theta) = -32raiz3 = -32raiz3 cdot raiz3raiz3 = -3raiz36 = -raiz32

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo theta:
theta = arccos(-raiz32)
Sabemos que arccos(-raiz32) = 150^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de 150^circ.

Exercícios relacionados