Determinar o ângulo entre os vetores:
a) u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço: u = (2, -1, -1) e v = (-1, -1, 2). Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se temos u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v:
u cdot v = (2)(-1) + (-1)(-1) + (-1)(2) = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 4

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou normas) dos vetores u e v. A fórmula para a magnitude de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular:
Para u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Para v:
|v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula que relaciona esses valores com o cosseno do ângulo theta entre os vetores:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Vamos isolar cos(theta):
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = -3raiz6 cdot raiz6 = -36 = -0,5

Resposta

Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de -0,5:
theta = cos^-1(-0,5) = 120^circ
Portanto, o ângulo entre os vetores u e v é de 120^circ.

Exercícios relacionados

Usar o desenvolvimento de Laplace para calcular os seguintes determinantes:
C=[cccc8 & 0 & 1 & 1 0 & -1 & 6 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 2 & 1 & 10].
Dada a matriz A=[ccc2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1], determinar:
adj A
Escreva v=(2,5) como uma combinação linear de u1 e u2, sendo
(a) u1=(1,2) e u2=(3,5);
A partir do cálculo do determinante, concluir se as seguintes matrizes são não singulares (invertíveis):
[ccc2 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 0]