Escreva v=(2,5) como uma combinação linear de u1 e u2, sendo
(a) u1=(1,2) e u2=(3,5);

Passo 1

Vamos resolver o problema de escrever o vetor v = (2,5) como uma combinação linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,5). Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente combinações lineares e resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar encontrar números (escalas) que, multiplicados pelos vetores dados, resultem no vetor v.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existem números a e b tais que:
a cdot u1 + b cdot u2 = v
Ou seja,
a cdot (1,2) + b cdot (3,5) = (2,5)

Passo 3

Isso nos dá um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores:
a cdot 1 + b cdot 3 = 2 a cdot 2 + b cdot 5 = 5
Ou, simplificando:
a + 3b = 2 2a + 5b = 5

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a e b. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar o método da eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de a:
2a + 6b = 4
Subtraindo a segunda equação da equação multiplicada:
(2a + 6b) - (2a + 5b) = 4 - 5 2a + 6b - 2a -5b = -1 b = -1

Passo 5

Com o valor de b encontrado, podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar a:
a + 3(-1) = 2 a - 3 = 2 a = 5

Resposta

Portanto, o vetor v = (2,5) pode ser escrito como uma combinação linear de u1 e u2 da seguinte forma:
v = 5 cdot u1 - 1 cdot u2

Exercícios relacionados

Determinar o ângulo entre os vetores:
a) u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2)
Usar o desenvolvimento de Laplace para calcular os seguintes determinantes:
C=[cccc8 & 0 & 1 & 1 0 & -1 & 6 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 2 & 1 & 10].
A partir do cálculo do determinante, concluir se as seguintes matrizes são não singulares (invertíveis):
[ccc2 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 0]
Dados os vetores A=lang<= 1,2,3rang<=, B=lang<= 4,-3,-1rang<=, C=lang<=-5,-3,5rang<= e D=lang<=-2,1,6rang<=, encontre:
d) |7 C-5 D|