Usar o desenvolvimento de Laplace para calcular os seguintes determinantes:
C=[cccc8 & 0 & 1 & 1 0 & -1 & 6 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 2 & 1 & 10].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante da matriz C = 8 & 0 & 1 & 1 0 & -1 & 6 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 2 & 1 & 10 usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz que queremos calcular o determinante é:
Para isso, vamos precisar conhecer o que é determinante, o que é o desenvolvimento de Laplace e como aplicá-lo passo a passo em uma matriz 4x4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.
O desenvolvimento de Laplace é uma técnica para calcular determinantes que envolve expandir a matriz ao longo de uma linha ou coluna, multiplicando os elementos por seus respectivos cofatores e somando os resultados.

Passo 3

Vamos escolher a melhor linha ou coluna para facilitar os cálculos. Observando a matriz , a primeira coluna tem três zeros, o que facilita bastante porque qualquer elemento multiplicado por zero não contribui para o determinante. Então, vamos expandir ao longo da primeira coluna.

Passo 4

O desenvolvimento de Laplace na primeira coluna fica assim:
det(C) = a11C11 + a21C21 + a31C31 + a41C41
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Agora, substituímos os valores da primeira coluna:
det(C) = 8 cdot C11 + 0 cdot C21 + 0 cdot C31 + 0 cdot C41
Como os últimos três termos têm zero, eles desaparecem:
det(C) = 8 cdot C11

Passo 6

Vamos calcular o cofator C11 = (-1)^1+1 cdot M11 = M11 . O cofator é dado por:
M11 = -1 & 6 & 1 0 & 4 & 0 2 & 1 & 10
Onde é a matriz menor, que resulta de eliminar a primeira linha e a primeira coluna de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante de det(M11) = -1 cdot 4 & 0 1 & 10 - 6 cdot 0 & 0 2 & 10 + 1 cdot 0 & 4 2 & 1 :
4 & 0 1 & 10 = (4)(10) - (0)(1) = 40
Calculando cada menor:
0 & 0 2 & 10 = (0)(10) - (0)(2) = 0
0 & 4 2 & 1 = (0)(1) - (4)(2) = -8
det(M11) = -1 cdot 40 - 6 cdot 0 + 1 cdot (-8) = -40 - 0 - 8 = -48
Substituindo de volta:

Passo 8

Então, o cofator det(C) = 8 cdot (-48) = -384 .
Voltando ao determinante da matriz :

Resposta

O determinante da matriz é .

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adj A
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lx+2 y+3 z=1 2 x+3 y-z=-5 x+2 z=0
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a) u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2)
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(a) u1=(1,2) e u2=(3,5);