Determinar uma aplicação linear tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar uma aplicação linear tal que a imagem de , ou seja, o conjunto de todos os possíveis resultados de , seja exatamente o espaço gerado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma aplicação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai ser representada por uma matriz de tamanho (4 linhas e 3 colunas), porque ela mapeia vetores de para .

Passo 3

A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas dessa matriz. Como a imagem deve ser o espaço gerado por e , isso significa que as colunas da matriz de precisam ser combinações desses vetores.

Passo 4

Vamos construir a matriz de de forma que suas colunas sejam combinações dos vetores e . Uma maneira simples é usar esses vetores como as duas primeiras colunas e deixar a terceira coluna como zero, já que não precisamos de mais vetores para gerar a imagem desejada.

Passo 5

Então, a matriz fica assim:

Passo 6

Com essa matriz, qualquer vetor em será mapeado por da seguinte forma:

Resposta

A aplicação linear que satisfaz é dada pela matriz
ou, de forma funcional,

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