Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar uma aplicação linear tal que a imagem de , ou seja, o conjunto de todos os possíveis resultados de , seja exatamente o espaço gerado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma aplicação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai ser representada por uma matriz de tamanho (4 linhas e 3 colunas), porque ela mapeia vetores de para .
Passo 3
A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas dessa matriz. Como a imagem deve ser o espaço gerado por e , isso significa que as colunas da matriz de precisam ser combinações desses vetores.
Passo 4
Vamos construir a matriz de de forma que suas colunas sejam combinações dos vetores e . Uma maneira simples é usar esses vetores como as duas primeiras colunas e deixar a terceira coluna como zero, já que não precisamos de mais vetores para gerar a imagem desejada.
Passo 5
Então, a matriz fica assim:
Passo 6
Com essa matriz, qualquer vetor em será mapeado por da seguinte forma:
Resposta
A aplicação linear que satisfaz é dada pela matriz