Determine o centro e o raio da circunferência onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro e o raio da circunferência que é a interseção entre uma esfera e um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre interseção de superfícies. Vamos precisar entender como uma esfera e um plano se cortam e como determinar os parâmetros da circunferência resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da esfera . A equação da esfera é dada por:
Para facilitar, vamos reescrever essa equação na forma padrão da esfera . Para isso, completamos os quadrados para cada variável.

Passo 3

Vamos reorganizar os termos:
Agora, completamos os quadrados:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Substituindo na equação:

Passo 4

Simplificando os termos constantes:
Movendo o constante para o outro lado:
Agora, temos a equação da esfera na forma padrão, onde o centro é e o raio é (já que ).

Passo 5

Agora, vamos analisar o plano dado por:
Para encontrar a circunferência de interseção, precisamos determinar a distância entre o centro da esfera e o plano . A fórmula para a distância entre um ponto e um plano é:

Passo 6

Aplicando a fórmula, os coeficientes do plano são , , , e . O ponto é . Calculando:

Passo 7

Sabemos que a distância entre o centro da esfera e o plano é relacionada ao raio da circunferência de interse��ão pela relação:
Substituindo e :

Passo 8

Agora, para encontrar o centro da circunferência, sabemos que ele está na projeção do centro da esfera sobre o plano . A projeção pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Onde é o vetor normal ao plano , que é . Precisamos normalizar esse vetor:
Agora, calculamos :

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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