Determine o centro e o raio da circunferência onde e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro e o raio da circunferência que é a interseção entre uma esfera e um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre interseção de superfícies. Vamos precisar entender como uma esfera e um plano se cortam e como determinar os parâmetros da circunferência resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da esfera . A equação da esfera é dada por:
Para facilitar, vamos reescrever essa equação na forma padrão da esfera . Para isso, completamos os quadrados para cada variável.
Passo 3
Vamos reorganizar os termos:
Agora, completamos os quadrados:
Para :
Para :
Para :
Substituindo na equação:
Passo 4
Simplificando os termos constantes:
Movendo o constante para o outro lado:
Agora, temos a equação da esfera na forma padrão, onde o centro é e o raio é (já que ).
Passo 5
Agora, vamos analisar o plano dado por:
Para encontrar a circunferência de interseção, precisamos determinar a distância entre o centro da esfera e o plano . A fórmula para a distância entre um ponto e um plano é:
Passo 6
Aplicando a fórmula, os coeficientes do plano são , , , e . O ponto é . Calculando:
Passo 7
Sabemos que a distância entre o centro da esfera e o plano é relacionada ao raio da circunferência de interse��ão pela relação:
Substituindo e :
Passo 8
Agora, para encontrar o centro da circunferência, sabemos que ele está na projeção do centro da esfera sobre o plano . A projeção pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Onde é o vetor normal ao plano , que é . Precisamos normalizar esse vetor: