Determine o centro P e o raio rho da circunferência alpha=S cap pi onde S: x^2+y^2+z^2-2 x+2 y-6 z+2=0 e pi: x+2 y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro e o raio da circunferência que é a interseção entre uma esfera e um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre interseção de superfícies. Vamos precisar entender como uma esfera e um plano se cortam e como determinar os parâmetros da circunferência resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da esfera x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 6z + 2 = 0 . A equação da esfera é dada por:
Para facilitar, vamos reescrever essa equação na forma padrão da esfera . Para isso, completamos os quadrados para cada variável.

Passo 3

Vamos reorganizar os termos:
x^2 - 2x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = -2
Agora, completamos os quadrados:
  • Para (x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 = -2 :
  • Para :
  • Para :
Substituindo na equação:

Passo 4

Simplificando os termos constantes:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 - 11 = -2
Movendo o constante para o outro lado:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9
Agora, temos a equação da esfera na forma padrão, onde o centro é e o raio é (já que ).

Passo 5

Agora, vamos analisar o plano x + 2y - z = 0 dado por:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Para encontrar a circunferência de interseção, precisamos determinar a distância entre o centro da esfera e o plano . A fórmula para a distância entre um ponto e um plano é:

Passo 6

Aplicando a fórmula, os coeficientes do plano são d = |1(1) + 2(-1) + (-1)(3) + 0|raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = |1 - 2 - 3|raiz1 + 4 + 1 = |-4|raiz6 = 4raiz6 = 2raiz63 , , , e . O ponto é . Calculando:

Passo 7

Sabemos que a distância rho = raizr^2 - d^2 entre o centro da esfera e o plano é relacionada ao raio da circunferência de interse��ão rho = raiz9 - (2raiz63)^2 = raiz9 - 249 = raiz9 - 83 = raiz273 - 83 = raiz193 = raiz573 pela relação:
Substituindo e :

Passo 8

Agora, para encontrar o centro P = C - d cdot n da circunferência, sabemos que ele está na projeção do centro da esfera sobre o plano n = (1, 2, -1)raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = (1, 2, -1)raiz6 . A projeção P = (1, -1, 3) - 2raiz63 cdot (1, 2, -1)raiz6 = (1, -1, 3) - 23(1, 2, -1) = (1 - 23, -1 - 43, 3 + 23) = (13, -73, 113) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Onde é o vetor normal ao plano , que é . Precisamos normalizar esse vetor:
Agora, calculamos :

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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