Sejam A=(ai j)2 times 3 dada por ai j=3 i-2 j, B=(bi j)2 times 3 dada por bi j=2+i+j, C=(ci j)3 times 1 dada por ci j=i cdot j e D=(di j)1 times 2 dada por di j=2 ji cdot(-1)^i+j. Determine, se possível: D^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro matrizes diferentes, cada uma com suas próprias regras para calcular os elementos. Nosso objetivo aqui é determinar , que é a transposta da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e operações com elas. Precisamos entender o que é a matriz transposta e como aplicá-la na matriz que já foi definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz transposta. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, se tivermos uma matriz de tamanho , sua transposta será de tamanho .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz di j = 2ji cdot (-1)^i+j que foi definida como , onde cada elemento é dado por:
Aqui, e representam os índices das linhas e colunas da matriz , respectivamente.

Passo 4

Como d1 1 = 2 times 11 cdot (-1)^1+1 = 2 cdot (-1)^2 = 2 cdot 1 = 2 é uma matriz d1 2 = 2 times 21 cdot (-1)^1+2 = 4 cdot (-1)^3 = 4 cdot (-1) = -4 , temos que D = 2 & -4 (já que há apenas uma linha) e varia de 1 a 2 (duas colunas). Vamos calcular cada elemento de :
Para :
Para :
Portanto, a matriz é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a transposta de D^t = 2 -4 , ou seja, . Como mencionamos, isso significa trocar linhas por colunas. Então, a única linha de se torna uma coluna em :

Resposta

A transposta de D^t = 2 -4 é:

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