Se A é uma matriz triangular inferior de ordem , determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que A é uma matriz triangular inferior de ordem n, onde n é um número natural positivo. Nosso objetivo aqui é determinar , ou seja, A multiplicada por ela mesma. Para isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes, especialmente quando lidamos com matrizes triangulares inferiores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Por exemplo, para uma matriz 3x3:

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos multiplicar A por A. A multiplicação de duas matrizes A e B resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A com os elementos da coluna j de B:

Passo 4

Como A é uma matriz triangular inferior, muitos dos elementos serão multiplicados por zero, o que simplifica bastante a conta. Vamos ver isso passo a passo:
Para o elemento na posição (1,1):
Para o elemento na posição (2,1):
Para o elemento na posição (2,2):
E assim por diante para matrizes de ordem maior.

Passo 5

Observamos que o produto de duas matrizes triangulares inferiores também resulta em uma matriz triangular inferior. Isso ocorre porque a multiplicação não gera elementos não nulos acima da diagonal principal.

Resposta

Portanto, será também uma matriz triangular inferior de ordem n, onde cada elemento ² é dado por:
²
Para uma matriz triangular inferior, isso se simplifica mantendo todos os elementos acima da diagonal como zero.

Exercícios relacionados

Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (i) Se é uma matriz simétrica de ordem , então .
Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor não nulo cuja imagem seja zero.

Determine o centro e o raio da circunferência onde e .
Determinar uma aplicação linear tal que .