Se A é uma matriz triangular inferior de ordem , determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que A é uma matriz triangular inferior de ordem n, onde n é um número natural positivo. Nosso objetivo aqui é determinar A², ou seja, A multiplicada por ela mesma. Para isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes, especialmente quando lidamos com matrizes triangulares inferiores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Por exemplo, para uma matriz 3x3:
Passo 3
Agora, para encontrar A², precisamos multiplicar A por A. A multiplicação de duas matrizes A e B resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A com os elementos da coluna j de B:
Passo 4
Como A é uma matriz triangular inferior, muitos dos elementos serão multiplicados por zero, o que simplifica bastante a conta. Vamos ver isso passo a passo:
Para o elemento na posição (1,1):
Para o elemento na posição (2,1):
Para o elemento na posição (2,2):
E assim por diante para matrizes de ordem maior.
Passo 5
Observamos que o produto de duas matrizes triangulares inferiores também resulta em uma matriz triangular inferior. Isso ocorre porque a multiplicação não gera elementos não nulos acima da diagonal principal.
Resposta
Portanto, A² será também uma matriz triangular inferior de ordem n, onde cada elemento ² é dado por:
²
Para uma matriz triangular inferior, isso se simplifica mantendo todos os elementos acima da diagonal como zero.