Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l15. lim theta pi / 2 1-sen theta1+cos 2 theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o valor de lim theta pi / 2 1 - sin theta1 + cos 2theta. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hospital, que é muito útil quando a gente tem expressões que dão uma forma indeterminada como 0/0 ou ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando substituímos theta por pi/2 na expressão:
  • No numerador: 1 - sin(pi/2) = 1 - 1 = 0
  • No denominador: 1 + cos(2 times pi/2) = 1 + cos(pi) = 1 + (-1) = 0
Então, temos 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

De acordo com a Regra de L’Hospital, a gente deriva o numerador e o denominador separadamente e depois calcula o limite dessas derivadas.
  • Derivada do numerador: ddtheta(1 - sin theta) = -cos theta
  • Derivada do denominador: ddtheta(1 + cos 2theta) = -2sin 2theta
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do limite:
limtheta to pi/2 -cos theta-2 sin 2theta = limtheta to pi/2 cos theta2 sin 2theta

Passo 4

Vamos tentar substituir theta = pi/2 nessa nova expressão:
  • No numerador: cos(pi/2) = 0
  • No denominador: 2 sin(2 times pi/2) = 2 sin pi = 0
Continuamos com 0/0, então aplicamos novamente a Regra de L’Hospital.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: ddtheta(cos theta) = -sin theta
  • Derivada do denominador: ddtheta(2 sin 2theta) = 4 cos 2theta
Substituindo na expressão do limite:
limtheta to pi/2 -sin theta4 cos 2theta

Resposta

Agora, substituímos theta = pi/2 na expressão final:
-sin(pi/2)4 cos(2 times pi/2) = -14 cos pi = -14 times (-1) = 14
Portanto, o limite é 14.

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