Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l57. lim x 0(1-2 x)^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria aqui envolve limites e a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar usar logaritmos para facilitar o cálculo e então aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de L = limx 0 (1 - 2x)^1/x :
ln(L) = limx 0 ln(1 - 2x)x
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, temos uma forma do tipo ln(L) = limx 0 ddx[ln(1 - 2x)]ddx[x] = limx 0 -2/(1 - 2x)1 quando , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Simplificando a expressão derivada:
ln(L) = limx 0 -21 - 2x
Agora, basta substituir ln(L) = -21 - 0 = -2 :

Passo 5

Agora que temos L = e^-2 , vamos voltar ao valor original de tirando o exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite vale .

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