Encontre as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas esféricas são (2,3 pi / 4, pi / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é transformar as coordenadas esféricas (2, 3pi4, pi2) para coordenadas cartesianas. Isso envolve um pouco de trigonometria, mas vamos com calma e passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as cartesianas. As coordenadas esféricas são dadas por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem.
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal).
  • phi é o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
Para converter para coordenadas cartesianas (x, y, z), usamos as seguintes fórmulas:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • rho = 2
  • theta = 3pi4
  • phi = pi2
Vamos substituir esses valores nas fórmulas.

Passo 4

Vamos calcular cada coordenada:
Para x:
x = 2 cdot sin(pi2) cdot cos(3pi4)
Sabemos que sin(pi2) = 1 e cos(3pi4) = -raiz22. Então:
x = 2 cdot 1 cdot (-raiz22) = -raiz2
Para y:
y = 2 cdot sin(pi2) cdot sin(3pi4)
Sabemos que sin(3pi4) = raiz22. Então:
y = 2 cdot 1 cdot raiz22 = raiz2
Para z:
z = 2 cdot cos(pi2)
Sabemos que cos(pi2) = 0. Então:
z = 2 cdot 0 = 0

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são (-raiz2, raiz2, 0).

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