Encontre as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas esféricas são .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é transformar as coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Isso envolve um pouco de trigonometria, mas vamos com calma e passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as cartesianas. As coordenadas esféricas são dadas por , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal).
  • é o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
Para converter para coordenadas cartesianas , usamos as seguintes fórmulas:

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
Vamos substituir esses valores nas fórmulas.

Passo 4

Vamos calcular cada coordenada:
Para :
Sabemos que e . Então:
Para :
Sabemos que . Então:
Para :
Sabemos que . Então:

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são .

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Seja a transformação linear definida por .
a) Calcule os autovalores de e os auto espaços de .
b) Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nesta base?
Sejam um espaço vetorial sobre o corpo um operador linear sobre e um autovalor de . Mostre que o subconjunto definido por:
é um subespaço vetorial de .
Determine uma base e a dimensão de , onde é definida por
Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores
a) e
b) e
c) e .