Determine uma base e a dimensão de
, onde
é definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma base e a dimensão da imagem de uma transformação linear
definida por
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de transformações lineares, imagem, base e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para ela, além de determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a imagem da transformação
. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores que você pode obter ao aplicar
a qualquer vetor de
. Ou seja,
Passo 3
Observando a expressão
, percebemos que o segundo componente do vetor resultante é sempre zero. Isso significa que todos os vetores da imagem de
estão alinhados ao longo do eixo
. Portanto, a imagem de
é composta por todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em outras palavras,
Passo 4
Agora, para encontrar uma base para
, precisamos identificar um conjunto mínimo de vetores que gera todo o espaço da imagem sem redundâncias. Como todos os vetores da imagem são múltiplos de
, podemos dizer que:
Isso significa que
é uma base para
.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 1.