Determine uma base e a dimensão de , onde é definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma base e a dimensão da imagem de uma transformação linear definida por . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de transformações lineares, imagem, base e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para ela, além de determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a imagem da transformação . A imagem de é o conjunto de todos os vetores que você pode obter ao aplicar a qualquer vetor de . Ou seja,

Passo 3

Observando a expressão , percebemos que o segundo componente do vetor resultante é sempre zero. Isso significa que todos os vetores da imagem de estão alinhados ao longo do eixo . Portanto, a imagem de é composta por todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras,

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto mínimo de vetores que gera todo o espaço da imagem sem redundâncias. Como todos os vetores da imagem são múltiplos de , podemos dizer que:
Isso significa que é uma base para .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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b) e
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a) Calcule os autovalores e os auto espagos de .
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