Determine uma base e a dimensão de Im(T), onde T: R^2 R^2 é definida por
T(x, y)=(2 x-y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma base e a dimensão da imagem de uma transformação linear definida por . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de transformações lineares, imagem, base e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para ela, além de determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a imagem da transformação Im(T) = , T(x, y) mid (x, y) in R^2 , = , (2x - y, 0) mid x, y in R , . A imagem de é o conjunto de todos os vetores que você pode obter ao aplicar a qualquer vetor de . Ou seja,

Passo 3

Observando a expressão Im(T) = , (a, 0) mid a in R , , percebemos que o segundo componente do vetor resultante é sempre zero. Isso significa que todos os vetores da imagem de estão alinhados ao longo do eixo . Portanto, a imagem de é composta por todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras,

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para Im(T) = span, (1, 0) , , precisamos identificar um conjunto mínimo de vetores que gera todo o espaço da imagem sem redundâncias. Como todos os vetores da imagem são múltiplos de , podemos dizer que:
Isso significa que é uma base para .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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