Determinar a área da região delimitada pelas curvas e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente integração, para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Podemos resolver essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Com os pontos de interseção em e , vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos pegar um valor de entre -1 e 2, por exemplo, :
Aqui, está acima de .

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo no intervalo de a :
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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f)
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