Determinar a área da região que está no interior
e exterior à
. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Precisamos determinar a área da região que está dentro da curva
e fora da curva
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no plano polar. Ambas são do tipo cípeto (círculos), pois são da forma
.
Passo 3
Para encontrar a área entre as duas curvas, precisamos identificar os pontos onde elas se intersectam. Isso nos dará os limites de integração.
Passo 4
Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Isso acontece quando
, ou seja,
e
.
Passo 6
Com os pontos de interseção determinados, sabemos que vamos integrar de
a
para encontrar a área desejada.
Passo 7
A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui,
e
.
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Para simplificar a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Passo 10
Agora, integramos termo a termo:
Passo 11
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região é
unidades de área.
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3-
Determine e esboce o gráfico do domínio de
Determine e esboce o gráfico do domínio de
Determine a série de Maclaurin de
Determine
da função
1,25
Suponha que
onde
é uma variável aleatória contínua e
. Determine as seguintes probabilidades: