Determinar a área da região que está no interior e exterior à . Esboçar o gráfico.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Precisamos determinar a área da região que está dentro da curva e fora da curva . Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no plano polar. Ambas são do tipo cípeto (círculos), pois são da forma .

Passo 3

Para encontrar a área entre as duas curvas, precisamos identificar os pontos onde elas se intersectam. Isso nos dará os limites de integração.

Passo 4

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Isso acontece quando , ou seja, e .

Passo 6

Com os pontos de interseção determinados, sabemos que vamos integrar de a para encontrar a área desejada.

Passo 7

A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui, e .

Passo 8

Substituindo na fórmula:

Passo 9

Para simplificar a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo:

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:

Passo 11

Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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