Determine a série de Maclaurin de

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries de Maclaurin. A questão pede para determinar a série de Maclaurin da função . Para isso, vamos precisar conhecer a definição de série de Maclaurin e a maneira de expandir funções usando o binômio de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dada. Temos:
Agora, nossa função é . Queremos expandir esta função em uma série de Maclaurin, que é uma série de potências centrada em .

Passo 3

Para expandir , podemos usar o binômio de Newton, que nos permite expandir expressões da forma . A fórmula do binômio de Newton é:
Onde é o coeficiente binomial.

Passo 4

Aplicando o binômio de Newton à nossa função , temos:
Vamos calcular cada termo dessa soma.

Passo 5

Calculando os termos individualmente:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, somando todos os termos, temos:

Passo 7

Multiplicando toda a expressão por 6, conforme a função :

Resposta

A série de Maclaurin de é:

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