Determine a série de Maclaurin de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de séries de Maclaurin. A questão pede para determinar a série de Maclaurin da função
. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de série de Maclaurin e a maneira de expandir funções usando o binômio de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dada. Temos:
Agora, nossa função é
. Queremos expandir esta função em uma série de Maclaurin, que é uma série de potências centrada em
.
Passo 3
Para expandir
, podemos usar o binômio de Newton, que nos permite expandir expressões da forma
. A fórmula do binômio de Newton é:
Onde
é o coeficiente binomial.
Passo 4
Aplicando o binômio de Newton à nossa função
, temos:
Vamos calcular cada termo dessa soma.
Passo 5
Calculando os termos individualmente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, somando todos os termos, temos:
Passo 7
Multiplicando toda a expressão por 6, conforme a função
:
Resposta
A série de Maclaurin de
é: