3-
Determine e esboce o gráfico do domínio de

Passo 1

Aqui, o enunciado nos pede para determinar e esboçar o domínio da função . Vamos precisar entender como funciona o logaritmo natural e quais são as condições para que ele esteja definido. Além disso, vamos precisar identificar quais valores de e tornam a expressão dentro do logaritmo válida.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o logaritmo natural está definido apenas quando o argumento é maior que zero. Portanto, precisamos garantir que:
Isso significa que a fração dentro do logaritmo deve ser positiva.

Passo 3

Para que a fração seja positiva, tanto o numerador quanto o denominador precisam ser positivos ao mesmo tempo, ou ambos precisam ser negativos. Vamos analisar essas duas possibilidades separadamente.

Passo 4

Primeira possibilidade: Ambos o numerador e o denominador são positivos.
Isso simplifica para:
Ou seja, é maior que 1 e é maior que .

Passo 5

Segunda possibilidade: Ambos o numerador e o denominador são negativos.
Isso simplifica para:
Ou seja, é menor que 1 e é menor que .

Passo 6

Então, o domínio da função é a união dessas duas regiões:
Isso significa que para a função estar definida, deve estar ou na primeira região ou na segunda.

Passo 7

Para esboçar o gráfico do domínio:
  • Trace a reta . Acima dessa reta ( ) e acima da reta está uma das regiões válidas.
  • Abaixo da reta ( ) e abaixo da reta está a outra região válida.
  • Essas duas áreas não se sobrepõem e representam todas as combinações de e que tornam a expressão dentro do logaritmo positiva.

Resposta

O domínio da função consiste nos pontos onde:
  • e , ou
  • e .
No gráfico, isso forma duas regiões separadas:
  1. Acima da reta e da reta .
  2. Abaixo da reta e da reta .

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