3-
Determine e esboce o gráfico do domínio de
Determine e esboce o gráfico do domínio de
Passo 1
Aqui, o enunciado nos pede para determinar e esboçar o domínio da função
. Vamos precisar entender como funciona o logaritmo natural e quais são as condições para que ele esteja definido. Além disso, vamos precisar identificar quais valores de
e
tornam a expressão dentro do logaritmo válida.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o logaritmo natural
está definido apenas quando o argumento
é maior que zero. Portanto, precisamos garantir que:
Isso significa que a fração dentro do logaritmo deve ser positiva.
Passo 3
Para que a fração
seja positiva, tanto o numerador
quanto o denominador
precisam ser positivos ao mesmo tempo, ou ambos precisam ser negativos. Vamos analisar essas duas possibilidades separadamente.
Passo 4
Primeira possibilidade: Ambos o numerador e o denominador são positivos.
Isso simplifica para:
Ou seja,
é maior que 1 e
é maior que
.
Passo 5
Segunda possibilidade: Ambos o numerador e o denominador são negativos.
Isso simplifica para:
Ou seja,
é menor que 1 e
é menor que
.
Passo 6
Então, o domínio da função é a união dessas duas regiões:
Isso significa que para a função estar definida,
deve estar ou na primeira região ou na segunda.
Passo 7
Para esboçar o gráfico do domínio:
- Trace a reta
. Acima dessa reta ( ) e acima da reta está uma das regiões válidas. - Abaixo da reta
( ) e abaixo da reta está a outra região válida. - Essas duas áreas não se sobrepõem e representam todas as combinações de
e que tornam a expressão dentro do logaritmo positiva.
Resposta
O domínio da função
consiste nos pontos
onde:
-
e , ou -
e .
No gráfico, isso forma duas regiões separadas:
- Acima da reta
e da reta . - Abaixo da reta
e da reta .
Exercícios relacionados
Determine a série de Maclaurin de
Um grupo de 28 alunos (14 homens e 14 mulheres) deve ser dividido em 7 grupos,com dois homens e duas mulheres em cada grupo. Quantas possibilidades de divisão existem?
Determinar a área da região que está no interior
e exterior à
. Esboçar o gráfico.
Determine
da função
1,25