Determine partial^2 zpartial y partial x da função z=e^2 x ln (x^2+3 x y) 1,25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a segunda derivada parcial de em relação a e depois a , ou seja, . A função dada é .
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e das derivadas parciais. Primeiro, vamos lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicaremos isso para encontrar a segunda derivada que a questão pede.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial x = e^2x cdot partialpartial x ln(x^2 + 3xy) + ln(x^2 + 3xy) cdot partialpartial x e^2x em relação a partialpartial x ln(x^2 + 3xy) = 1x^2 + 3xy cdot (2x + 3y) , ou seja, partialpartial x e^2x = 2e^2x .
A função é partial zpartial x = e^2x cdot 2x + 3yx^2 + 3xy + ln(x^2 + 3xy) cdot 2e^2x . Aqui, temos um produto de duas funções: partial zpartial x = e^2x ( 2x + 3yx^2 + 3xy + 2 ln(x^2 + 3xy) ) e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto:
Vamos derivar cada parte:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a partialpartial y ( 2x + 3yx^2 + 3xy ) = (3)(x^2 + 3xy) - (2x + 3y)(3x)(x^2 + 3xy)^2 , ou seja, 3x^2 + 9xy - 6x^2 - 9xy = -3x^2 .
Vamos derivar cada parte dentro do parêntese:
Primeiro, a derivada de partialpartial y ( 2x + 3yx^2 + 3xy ) = -3x^2(x^2 + 3xy)^2 em relação a partialpartial y ( 2 ln(x^2 + 3xy) ) = 2 cdot 3xx^2 + 3xy = 6xx^2 + 3xy :
Usamos a regra do quociente:
partial^2 zpartial y partial x = e^2x ( -3x^2(x^2 + 3xy)^2 + 6xx^2 + 3xy )
Simplificando o numerador:
Então:
Segundo, a derivada de em relação a :
Agora, combinando essas derivadas dentro da expressão original:

Resposta

A segunda derivada parcial é
partial^2 zpartial y partial x = e^2x ( -3x^2(x^2 + 3xy)^2 + 6xx^2 + 3xy )

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