Determinar a área da região limitada por f(x) = 8 - x^2 e g(x) = x^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e . Queremos determinar a área da região limitada por essas duas curvas. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as funções se intersectam e, em seguida, calcular a integral que representa essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções e . Isso ocorre quando :

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar os valores de :
Então, as funções se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo entre e . Vamos verificar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como nesse intervalo, a função está acima da .

Passo 5

A área da região limitada pelas duas curvas é dada pela integral da diferença entre e de a :

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de e :

Passo 7

Calculando para :
Calculando para :

Passo 8

A diferença entre os valores nos limites é:

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é unidades quadradas.

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