Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um ponto dado em coordenadas polares:
. As coordenadas polares usam dois valores para localizar um ponto: o raio
, que é a distância do ponto até a origem, e o ângulo
, que é a direção desse ponto em relação ao eixo positivo das abscissas (o eixo horizontal). Para resolver esse problema, vamos precisar saber como representar esse ponto no sistema de coordenadas polares e encontrar outras formas de escrever as mesmas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos marcar o ponto
em um gráfico de coordenadas polares. O
significa que o ponto está a 2 unidades de distância da origem. O
é o ângulo que forma com o eixo positivo das abscissas. Então, a gente desenha uma linha formando esse ângulo e marca o ponto lá a 2 unidades de distância.
Passo 3
Agora, o exercício pede para encontrar duas outras representações desse mesmo ponto: uma com
e outra com
. Isso é possível porque em coordenadas polares um ponto pode ter múltiplas representações.
Para encontrar uma representação com
, a gente pode adicionar
ao ângulo
, já que adicionar
(ou 360 graus) completa uma volta e nos leva ao mesmo ponto. Então:
Então, uma outra representação é
.
Passo 4
Para encontrar uma representação com
, a gente inverte a direção do raio e adiciona
ao ângulo
. Isso porque um raio negativo aponta na direção oposta. Então:
Portanto, outra representação é
.
Resposta
As duas outras representações das coordenadas polares do ponto são
e
.