Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o outro com r < 0.
(a) (2, pi / 3)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um ponto dado em coordenadas polares: (2, pi / 3). As coordenadas polares usam dois valores para localizar um ponto: o raio r, que é a distância do ponto até a origem, e o ângulo theta, que é a direção desse ponto em relação ao eixo positivo das abscissas (o eixo horizontal). Para resolver esse problema, vamos precisar saber como representar esse ponto no sistema de coordenadas polares e encontrar outras formas de escrever as mesmas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos marcar o ponto (2, pi / 3) em um gráfico de coordenadas polares. O significa que o ponto está a 2 unidades de distância da origem. O é o ângulo que forma com o eixo positivo das abscissas. Então, a gente desenha uma linha formando esse ângulo e marca o ponto lá a 2 unidades de distância.

Passo 3

Agora, o exercício pede para encontrar duas outras representações desse mesmo ponto: uma com e outra com . Isso é possível porque em coordenadas polares um ponto pode ter múltiplas representações.
Para encontrar uma representação com , a gente pode adicionar ao ângulo theta, já que adicionar (ou 360 graus) completa uma volta e nos leva ao mesmo ponto. Então:
Então, uma outra representação é .

Passo 4

Para encontrar uma representação com , a gente inverte a direção do raio e adiciona pi ao ângulo theta. Isso porque um raio negativo aponta na direção oposta. Então:
Portanto, outra representação é .

Resposta

As duas outras representações das coordenadas polares do ponto são e .

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