Determinar a área da região limitada pelas funções
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração. Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se interceptam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se interceptam nos pontos
e
, esses serão os limites de integração para calcular a área. A gente vai integrar a diferença entre as duas funções nesses limites.
Passo 5
Vamos determinar qual das funções está em cima no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Substituindo as funções e os limites:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliar essa expressão de
a
:
Passo 9
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
é
unidades de área.