Determinar a área da região limitada pelas funções y = x^2 e y = x + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração. Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se interceptam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se interceptam nos pontos e , esses serão os limites de integração para calcular a área. A gente vai integrar a diferença entre as duas funções nesses limites.

Passo 5

Vamos determinar qual das funções está em cima no intervalo de a . Vamos escolher um valor, por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Á
Substituindo as funções e os limites:
Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliar essa expressão de a :

Passo 9

Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Agora, subtraímos os valores:

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é unidades de área.

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