Determine as integrais: integral 1(3 x+7)^7 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está trabalhando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando a integral tem uma função composta. Vamos precisar entender um pouco sobre essa técnica para resolver direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser simplificada através de uma substituição. Aqui, temos a expressão u = 3x + 7 no denominador. Vamos chamar essa parte de .
Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3 em relação a du = 3 , dx para substituir o dx = du3 . Calculando:
Isso significa que:
E, isolando :

Passo 4

Vamos substituir integral 1(3x + 7)^7 dx = integral 1u^7 cdot du3 e 13 integral u^-7 du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C . A regra para integrar integral u^-7 du = u^-6-6 + C = -16u^6 + C é:
Nesse caso, , então:

Passo 6

Multiplicando pelo 13 cdot (-16u^6) = -118u^6 + C que estava na frente da integral:

Passo 7

Finalmente, substituímos -118(3x + 7)^6 + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral de -118(3x + 7)^6 + C em relação a é:

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