Determine os pontos extremos (estacionários) e a natureza destes pontos (máximo, mínimo ou de inflexão) da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos extremos (ou estacionários) da função
e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas características da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto e nos ajuda a identificar onde essa inclinação é zero, ou seja, onde a função tem pontos estacionários.
A função é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, pois esses são os candidatos a pontos extremos.
Podemos fatorar
para simplificar:
Isso nos dá duas soluções:
-
⇒ -
⇒ ⇒ ⇒
Então, os pontos candidatos são
,
e
.
Passo 4
Para determinar a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou inflexão), vamos usar a segunda derivada da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos candidatos:
- Para
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos de outro teste. Vamos olhar para a derivada primeira perto de
. Observando que a derivada muda de negativa para positiva, isso indica um ponto de mínimo.
- Para
:
Calculando:
Então:
Como a segunda derivada é positiva, temos um ponto de mínimo.
- Para
:
O cálculo será semelhante ao anterior:
Os termos elevados a potências pares serão positivos, então:
Então, também é um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos extremos da função são:
-
é um ponto de mínimo. -
é um ponto de mínimo. -
é um ponto de mínimo.