Determine os pontos extremos (estacionários) e a natureza destes pontos (máximo, mínimo ou de inflexão) da função f(x) = x^6/4 - x^4/2 + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos extremos (ou estacionários) da função e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas características da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto e nos ajuda a identificar onde essa inclinação é zero, ou seja, onde a função tem pontos estacionários.
A função é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, pois esses são os candidatos a pontos extremos.
Podemos fatorar para simplificar:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos candidatos são , e .

Passo 4

Para determinar a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou inflexão), vamos usar a segunda derivada da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada :

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos candidatos:
  1. Para :
Como a segunda derivada é zero, precisamos de outro teste. Vamos olhar para a derivada primeira perto de . Observando que a derivada muda de negativa para positiva, isso indica um ponto de mínimo.
  1. Para :
Calculando:
Então:
Como a segunda derivada é positiva, temos um ponto de mínimo.
  1. Para :
    O cálculo será semelhante ao anterior:
Os termos elevados a potências pares serão positivos, então:
Então, também é um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos extremos da função são:
  • é um ponto de mínimo.
  • é um ponto de mínimo.
  • é um ponto de mínimo.

Exercícios relacionados