A reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto p = 2 passa pelos pontos (0, -20) e 5,40. Determine f(2) e f'(2).

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde passa pelos pontos e . Precisamos descobrir o valor de e a derivada . Para isso, vamos usar conceitos de derivada e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação (ou seja, o coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos e . A fórmula para a inclinação entre dois pontos e é:
Aplicando os valores:
Então, a inclinação da reta é 12.

Passo 3

Agora que sabemos que a reta tangente tem inclinação 12 e passa pelo ponto onde , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Aqui, e . Substituindo os valores:
Essa reta também passa pelo ponto . Vamos substituir e na equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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