Determinar as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das seguintes funções.
b) f(x) = 3 / (x^3 + 3x^2 - x - 3)

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para achar as assíntotas, vamos precisar entender onde a função pode crescer sem limites (assíntotas verticais) e como ela se comporta quando vai para infinito ou menos infinito (assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que tornam o denominador igual a zero, porque nesses pontos a função não está definida e pode “explodir” para mais positivo ou negativo infinito. Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:

Passo 3

Para resolver essa equação de terceiro grau, vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante ( ) divididos pelos divisores do coeficiente líder ( ). Portanto, as possíveis raízes são .
Vamos testar :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar o polinômio usando :

Passo 4

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático :
Portanto, a fatoração completa é:

Passo 5

As raízes do denominador são os valores de que tornam cada fator igual a zero:
Então, temos três assíntotas verticais em , e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. O grau do numerador é 0 (já que é uma constante, 3) e o grau do denominador é 3.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é . Isso significa que, conforme vai para mais ou menos infinito, a função se aproxima de zero.

Resposta

A função possui assíntotas verticais em , e , e uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
c) lim x 0(3^8 x-1x)
Para as funções f(x) e g(x), calcular f * g, f / g, f0 * g e g0 f. Fornecer os domínios de f(x), g(x) e para cada operação resultante.
b) f(x) = x / (1 + x^2), g(x) = 1 / x
Investigar a continuidade das funções nos pontos indicados.
b) f(x) = { sen(9 x) / x, x > 0; raiz(cubo(729 / (1 - x))), x <= 0 } em x = 0
Resolva.
b) Se f(x) = (3x - 7) / (x^2 - 5), mostrar que (f(h) - f(0)) / h = (15 - 7 h) / (5 * (h^2 - 5)).