Determinar as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das seguintes funções.
b)
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Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para achar as assíntotas, vamos precisar entender onde a função pode crescer sem limites (assíntotas verticais) e como ela se comporta quando
vai para infinito ou menos infinito (assíntotas horizontais).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que tornam o denominador igual a zero, porque nesses pontos a função não está definida e pode “explodir” para mais positivo ou negativo infinito. Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Para resolver essa equação de terceiro grau, vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante (
) divididos pelos divisores do coeficiente líder (
). Portanto, as possíveis raízes são
.
Vamos testar
:
Então,
é uma raiz. Agora, podemos fatorar o polinômio usando
:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
:
Portanto, a fatoração completa é:
Passo 5
As raízes do denominador são os valores de
que tornam cada fator igual a zero:
Então, temos três assíntotas verticais em
,
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. O grau do numerador é 0 (já que é uma constante, 3) e o grau do denominador é 3.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
. Isso significa que, conforme
vai para mais ou menos infinito, a função se aproxima de zero.
Resposta
A função possui assíntotas verticais em
,
e
, e uma assíntota horizontal em
.