Para as funções f(x) e g(x), calcular f * g, f / g, f0 * g e g0 f. Fornecer os domínios de f(x), g(x) e para cada operação resultante.
b) f(x) = x / (1 + x^2), g(x) = 1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aqui: e . O que a gente precisa fazer é calcular o produto dessas funções ( ), a divisão ( ), e também as composições e . Além disso, vamos determinar os domínios de cada função e das operações resultantes. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar e dividir funções, além de como compor funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de cada função individualmente. O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida.
Para :
  • O denominador nunca é zero, porque é sempre não negativo e, portanto, .
  • Então, o domínio de é todos os números reais: .
Para :
  • O denominador não pode ser zero.
  • Então, o domínio de é todos os números reais exceto zero: .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto das funções . Isso significa multiplicar por :
Agora, para determinar o domínio de , a gente precisa considerar os domínios de e e onde a operação está definida. Como não está definida em , o domínio de também será .

Passo 4

Vamos calcular a divisão . Isso significa dividir por :
Para o domínio de , além de não poder ser zero (já sabemos que ), também precisamos garantir que o denominador de não cause divisão por zero, o que já está coberto. Então, o domínio de é .

Passo 5

Agora, vamos fazer a composição , que significa :
Observando o domínio, já tem domínio . Além disso, a função está definida para todo , já que nunca é zero. Então, o domínio de é .

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a composição , que significa :
Para o domínio de , precisamos que não seja zero, porque não está definida quando sua entrada é zero. Vamos ver quando :
Então, além de (por causa do denominador de ), já que só é zero quando , o domínio de é .

Resposta

  • Dom��nio de :
  • Domínio de :
  • Produto : , domínio:
  • Divisão : , domínio:
  • Composição : , domínio:
  • Composição : , domínio:

Exercícios relacionados

Determinar o domínio das funções:
d) y = f(x) = raiz(x / (x + 3))
Determinar o domínio das funções:
a) y = f(x) = 1/(3*x - 7)
Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
c) lim x 0(3^8 x-1x)
Determinar as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das seguintes funções.
b) f(x) = 3 / (x^3 + 3x^2 - x - 3)