Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
definido por
. Para isso, vamos trabalhar com álgebra linear, especialmente com matrizes, determinantes e polinômios características. Vamos precisar montar a matriz de
, calcular seus autovalores resolvendo o determinante igual a zero e, depois, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Cada coluna dessa matriz representa a imagem dos vetores base canônicos
,
e
através de
.
Aplicando
em cada vetor base:
Então, a matriz de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de
det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade de ordem 3 e
representa os autovalores. Vamos montar
:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Agora, vamos multiplicar os termos:
Então:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, resolvemos:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 -
Vamos resolver a segunda equação quadrática:
Então:
Portanto, os autovalores são
,
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos
A - I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 para cada
0x + 0y + 0z = 0 -2x - 2y + 0z = 0 2x + y + z = 0 .
Para
2(-y) + y + z = -2y + y + z = -y + z = 0 Rightarrow z = y :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
A + I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3
2x + 0y + 0z = 0 -2x + 0y + 0z = 0 2x + y + 3z = 0
0 + y + 3z = 0 Rightarrow y = -3z
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores têm a forma
, onde
é um parâmetro livre. Podemos escolher
, então um autovetor é
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo em segunda e terceira equações:
- Segunda:
- Terceira:
Isso dá apenas a solução trivial
, o que significa que
não possui autovetores não nulos. Portanto,
não é um autovalor válido para essa matriz.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores têm a forma
, onde
é um parâmetro livre. Podemos escolher
, então um autovetor é
.
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
. Para cada autovalor, os autovetores correspondentes são:
- Para
: Um autovetor é - Para
: Um autovetor é
Não há autovetores associados a
para esse operador.
Exercícios relacionados
Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(y,-x)
Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes
D e
P que diagonaliza
T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(2 x+4 y, 3 x+1 y)
Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(3 x-y-3 z, 2 y-3 z,-z)