Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Para isso, vamos trabalhar com álgebra linear, especialmente com matrizes, determinantes e polinômios características. Vamos precisar montar a matriz de , calcular seus autovalores resolvendo o determinante igual a zero e, depois, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2 como uma matriz. Cada coluna dessa matriz representa a imagem dos vetores base canônicos , e através de .
Aplicando em cada vetor base:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & -1 - lambda & 0 2 & 1 & 2 - lambda
Onde é a matriz identidade de ordem 3 e representa os autovalores. Vamos montar :

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda - 0 + 0
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(2 - lambda) - (0)(1)] = (1 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(2 - lambda)]
Agora, vamos multiplicar os termos:
(-1 - lambda)(2 - lambda) = -2 + lambda -2lambda + lambda^2 = lambda^2 - lambda -2
Então:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2)

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos:
(1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Vamos resolver a segunda equação quadrática:
Então:
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos A - I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 para cada 0x + 0y + 0z = 0 -2x - 2y + 0z = 0 2x + y + z = 0 .
Para 2(-y) + y + z = -2y + y + z = -y + z = 0 Rightarrow z = y :
A - 2I = -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0
Resolvendo o sistema:
-1x + 0y + 0z = 0 -2x -3y + 0z = 0 2x + y + 0z = 0
Da segunda equação: A + I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 2x + 0y + 0z = 0 -2x + 0y + 0z = 0 2x + y + 3z = 0 0 + y + 3z = 0 Rightarrow y = -3z
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores têm a forma , onde é um parâmetro livre. Podemos escolher , então um autovetor é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo em segunda e terceira equações:
  • Segunda:
  • Terceira:
Isso dá apenas a solução trivial , o que significa que não possui autovetores não nulos. Portanto, não é um autovalor válido para essa matriz.
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores têm a forma , onde é um parâmetro livre. Podemos escolher , então um autovetor é .

Resposta

Os autovalores do operador são e . Para cada autovalor, os autovetores correspondentes são:
  • Para : Um autovetor é
  • Para : Um autovetor é
Não há autovetores associados a para esse operador.

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