Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Para isso, vamos trabalhar com álgebra linear, especialmente com matrizes, determinantes e polinômios características. Vamos precisar montar a matriz de , calcular seus autovalores resolvendo o determinante igual a zero e, depois, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Cada coluna dessa matriz representa a imagem dos vetores base canônicos , e através de .
Aplicando em cada vetor base:
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica: