Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes
e
que diagonaliza
e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear
definido por
. A missão é descobrir se esse operador é diagonalizável. Se for, vamos determinar as matrizes
e
que diagonalizam
, ou seja, encontrar
e
tais que
. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador
como uma matriz. Vamos chamar essa matriz de
. Sabemos que, para um operador linear
, a matriz correspondente é:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando:
O determinante é:
Expandindo:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Como temos dois autovalores distintos (
e
), o operador
é diagonalizável. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
.
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher
para facilitar, assim
. Então, um autovetor para
é:
Para
:
Resolvemos
.
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor para
é:
Passo 5
Agora, vamos formar a matriz
com os autovetores e a matriz
com os autovalores.
Resposta
O operador linear
é diagonalizável. As matrizes que diagonalizam
são:
E o operador diagonalizado na base
é:
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