Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes D e P que diagonaliza T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ). T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(2 x+4 y, 3 x+1 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear definido por . A missão é descobrir se esse operador é diagonalizável. Se for, vamos determinar as matrizes e que diagonalizam , ou seja, encontrar e tais que . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador A = a & b c & d como uma matriz. Vamos chamar essa matriz de A = 2 & 4 3 & 1 . Sabemos que, para um operador linear , a matriz correspondente é:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = 2 - lambda & 4 3 & 1 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (3 times 4) = (2 - lambda)(1 - lambda) - 12 é a matriz identidade e (2 - lambda)(1 - lambda) = 2 - 2lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 3lambda + 2 representa os autovalores. Calculando:
lambda^2 - 3lambda + 2 - 12 = lambda^2 - 3lambda - 10 = 0
O determinante é:
lambda = 3 pm raiz9 + 402 = 3 pm raiz492 = 3 pm 72
Expandindo:
lambda1 = 5 e lambda2 = -2
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Como temos dois autovalores distintos ( A - 5I = 2 - 5 & 4 3 & 1 - 5 = -3 & 4 3 & -4 e -3v1 + 4v2 = 0 Rightarrow 3v1 = 4v2 Rightarrow v1 = 43v2 ), o operador v1 = 4 3 é diagonalizável. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para A + 2I = 2 + 2 & 4 3 & 1 + 2 = 4 & 4 3 & 3 :
Resolvemos 4v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 .
v2 = -1 1
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher para facilitar, assim . Então, um autovetor para é:
Para :
Resolvemos .
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é:

Passo 5

Agora, vamos formar a matriz P = 4 & -1 3 & 1 , D = 5 & 0 0 & -2 com os autovetores e a matriz com os autovalores.

Resposta

O operador linear P = 4 & -1 3 & 1 , D = 5 & 0 0 & -2 é diagonalizável. As matrizes que diagonalizam D = P^-1TP = 5 & 0 0 & -2 são:
E o operador diagonalizado na base é:

Exercícios relacionados

Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)
Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(y,-x)
Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(3 x-y-3 z, 2 y-3 z,-z)
Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes D e P que diagonaliza T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ). T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(9 x+y, 4 x+6 y)