Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Beleza! Temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear
definido por
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de matrizes, determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Cada componente de
corresponde a uma coluna da matriz. Assim, a matriz associada a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores (valores próprios), precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 4
Calculando
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & -3 0 & 2 - lambda & -3 0 & 0 & -1 - lambda :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Como a matriz é triangular (tem zeros abaixo da diagonal principal), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Passo 6
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá três soluções:
Passo 7
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Passo 8
Para
A - 3I = 0 & -1 & -3 0 & -1 & -3 0 & 0 & -4 :
Resolvendo
v1 = 1 0 0 :
Da última equação,
. Substituindo nas primeiras,
. Assim,
é livre, então o autovetor é:
Passo 9
Para
A - 2I = 1 & -1 & -3 0 & 0 & -3 0 & 0 & -3 :
Resolvendo
v2 = 1 1 0 :
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
. Assim, o autovetor é:
Passo 10
Para
A + I = 4 & -1 & -3 0 & 3 & -3 0 & 0 & 0 :
Resolvendo
4x - z - 3 z = 0 Rightarrow 4x - 4 z = 0 Rightarrow x = z :
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Assim, podemos expressar
como parâmetro livre. O autovetor pode ser escrito como:
Resposta
Os autovalores do operador
v1 = 1 0 0 , v2 = 1 1 0 , v3 = 1 1 1 são
,
e
. Os autovetores correspondentes são:
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