Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(3 x-y-3 z, 2 y-3 z,-z)

Passo 1

Beleza! Temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear definido por . Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de matrizes, determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 3 & -1 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & -1 como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz. Assim, a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores (valores próprios), precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 3 - lambda & -1 & -3 0 & 2 - lambda & -3 0 & 0 & -1 - lambda :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot (2 - lambda) cdot (-1 - lambda)
Como a matriz é triangular (tem zeros abaixo da diagonal principal), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 6

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(3 - lambda)(2 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Isso nos dá três soluções:
lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3 = -1

Passo 7

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 8

Para A - 3I = 0 & -1 & -3 0 & -1 & -3 0 & 0 & -4 :
- y - 3 z = 0 - y - 3 z = 0 -4 z = 0
Resolvendo v1 = 1 0 0 :
Da última equação, . Substituindo nas primeiras, . Assim, é livre, então o autovetor é:

Passo 9

Para A - 2I = 1 & -1 & -3 0 & 0 & -3 0 & 0 & -3 :
x - y - 3 z = 0 -3 z = 0 -3 z = 0
Resolvendo v2 = 1 1 0 :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Assim, o autovetor é:

Passo 10

Para A + I = 4 & -1 & -3 0 & 3 & -3 0 & 0 & 0 :
4x - y - 3 z = 0 3y - 3 z = 0 0 = 0
Resolvendo 4x - z - 3 z = 0 Rightarrow 4x - 4 z = 0 Rightarrow x = z :
v3 = 1 1 1
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Assim, podemos expressar como parâmetro livre. O autovetor pode ser escrito como:

Resposta

Os autovalores do operador v1 = 1 0 0 , v2 = 1 1 0 , v3 = 1 1 1 são , e . Os autovetores correspondentes são:

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