Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes D e P que diagonaliza T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ). T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(x+2 y+z,-x+3 y+z, 2 y+2 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para verificar se o operador linear é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes e que fazem essa diagonalização e também escrever o operador em relação à base . O operador dado é definido por . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa diagonalizar um operador.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz que representa o operador A = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 . Para isso, observamos como age sobre os vetores da base canônica , e .
Calculando:
Então, a matriz de em relação à base canônica é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda . Para isso, resolvemos a equação característica det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 2[-1(2 - lambda) - 0 cdot 1] + 1[-1 cdot 2 - (3 - lambda) cdot 0] , onde = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] + 2[(2 - lambda)] - 2 é a matriz identidade.
Calculando = (1 - lambda)[6 - 5lambda + lambda^2 - 2] + 4 - 2lambda - 2 :
= (1 - lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda
Calculando o determinante:
= 4(1 - lambda) - 5lambda(1 - lambda) + lambda^2(1 - lambda) + 2 - 2lambda
Simplificando:
= 4 - 4lambda - 5lambda + 5lambda^2 + lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda
Expandindo:
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
-lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Multiplicando:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Combinando termos:
Então, a equação característica é:
Multiplicando por -1:

Passo 4

Vamos resolver a equação 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 . Testando possíveis raízes racionais (fatores de 6), encontramos que lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) é uma raiz:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Então, dividimos o polinômio por usando a divisão sintética:
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos verificar se cada autovalor tem dimensão geométrica igual à sua multiplicidade algébrica, o que garantirá que 0 & 2 & 1 -1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 seja diagonalizável.
Para -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 :
Resolvemos -2 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 0 & 2 & -1 :
Reduzindo, obtemos que a solução é . Então, existe um autovetor para .
Para :
Resolvemos :
Reduzindo, a solução é . Então, existe um autovetor para .
Para :
Resolvemos :
Reduzindo, a solução é . Então, existe um autovetor para .
Como cada autovalor tem um autovetor associado e a soma das dimensões geométricas é 3 (igual à dimensão do espaço), é diagonalizável.

Passo 6

Agora, vamos construir as matrizes D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 e P = -2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & -2 & 2 .
A matriz é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A matriz é formada pelos autovetores correspondentes a cada autovalor, organizados como colunas:

Passo 7

Por fim, o operador diagonalizado P^-1AP = D na base é dado por:
Portanto, o operador em relação à base é a matriz diagonal .

Resposta

O operador linear D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 , P = -2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & -2 & 2 é diagonalizável. As matrizes que diagonalizam são:
E o operador diagonalizado na base é .

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