Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes e que diagonaliza e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para verificar se o operador linear é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes e que fazem essa diagonalização e também escrever o operador em relação à base . O operador dado é definido por . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa diagonalizar um operador.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a matriz que representa o operador . Para isso, observamos como age sobre os vetores da base canônica , e .
Vamos resolver a equação 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 . Testando possíveis raízes racionais (fatores de 6), encontramos que lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) é uma raiz:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Então, dividimos o polinômio por usando a divisão sintética:
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos verificar se cada autovalor tem dimensão geométrica igual à sua multiplicidade algébrica, o que garantirá que 0 & 2 & 1 -1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 seja diagonalizável.
Para -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 :
Resolvemos -2 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 0 & 2 & -1 :
Reduzindo, obtemos que a solução é . Então, existe um autovetor para .
Para :
Resolvemos :
Reduzindo, a solução é . Então, existe um autovetor para .
Para :
Resolvemos :
Reduzindo, a solução é . Então, existe um autovetor para .
Como cada autovalor tem um autovetor associado e a soma das dimensões geométricas é 3 (igual à dimensão do espaço), é diagonalizável.