Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes D e P que diagonaliza T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ). T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(x+2 y+z,-x+3 y+z, 2 y+2 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para verificar se o operador linear é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes e que fazem essa diagonalização e também escrever o operador em relação à base . O operador dado é definido por . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa diagonalizar um operador.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz que representa o operador A = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 . Para isso, observamos como age sobre os vetores da base canônica , e .
Calculando:
Então, a matriz de em relação à base canônica é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda . Para isso, resolvemos a equação característica det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 2[-1(2 - lambda) - 0 cdot 1] + 1[-1 cdot 2 - (3 - lambda) cdot 0] , onde = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] + 2[(2 - lambda)] - 2 é a matriz identidade.
Calculando = (1 - lambda)[6 - 5lambda + lambda^2 - 2] + 4 - 2lambda - 2 :
= (1 - lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda
Calculando o determinante:
= 4(1 - lambda) - 5lambda(1 - lambda) + lambda^2(1 - lambda) + 2 - 2lambda
Simplificando:
= 4 - 4lambda - 5lambda + 5lambda^2 + lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda
Expandindo:
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
-lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Multiplicando:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Combinando termos:
Então, a equação característica é:
Multiplicando por -1:

Passo 4

Vamos resolver a equação 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 . Testando possíveis raízes racionais (fatores de 6), encontramos que lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) é uma raiz:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Então, dividimos o polinômio por usando a divisão sintética:
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos verificar se cada autovalor tem dimensão geométrica igual à sua multiplicidade algébrica, o que garantirá que 0 & 2 & 1 -1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 seja diagonalizável.
Para -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 :
Resolvemos -2 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 0 & 2 & -1 :
Reduzindo, obtemos que a solução é . Então, existe um autovetor para .
Para :
Resolvemos :
Reduzindo, a solução é . Então, existe um autovetor para .
Para :
Resolvemos :
Reduzindo, a solução é . Então, existe um autovetor para .
Como cada autovalor tem um autovetor associado e a soma das dimensões geométricas é 3 (igual à dimensão do espaço), é diagonalizável.

Passo 6

Agora, vamos construir as matrizes D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 e P = -2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & -2 & 2 .
A matriz é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A matriz é formada pelos autovetores correspondentes a cada autovalor, organizados como colunas:

Passo 7

Por fim, o operador diagonalizado P^-1AP = D na base é dado por:
Portanto, o operador em relação à base é a matriz diagonal .

Resposta

O operador linear D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 , P = -2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & -2 & 2 é diagonalizável. As matrizes que diagonalizam são:
E o operador diagonalizado na base é .

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São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V: O axioma (e) (lambda+mu) x=lambda x+mu x falha.