Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes D e P que diagonaliza T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ). T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(9 x+y, 4 x+6 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo é verificar se esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são conceitos chave na Álgebra Linear. Se conseguirmos encontrar dois autovalores distintos com seus respectivos autovetores, conseguimos diagonalizar . Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de 9 & 1 4 & 6 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por det 9 - lambda & 1 4 & 6 - lambda = 0 , onde (9 - lambda)(6 - lambda) - (4)(1) = 0 (54 - 15lambda + lambda^2) - 4 = 0 lambda^2 - 15lambda + 50 = 0 é a matriz identidade e lambda = 15 pm raiz225 - 2002 = 15 pm raiz252 = 15 pm 52 representa os autovalores.
A matriz de lambda1 = 15 + 52 = 10 lambda2 = 15 - 52 = 5 é:
Então, a equação característica fica:
Calculando o determinante:
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores 9 - 10 & 1 4 & 6 - 10 v1 v2 = -1 & 1 4 & -4 v1 v2 = 0 0 e - v1 + v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.

Para 1 1 , resolvemos 9 - 5 & 1 4 & 6 - 5 v1 v2 = 4 & 1 4 & 1 v1 v2 = 0 0 :
[
4v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -4v1
1 -4



]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para é .

Para , resolvemos :
[



]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar as matrizes D = 10 & 0 0 & 5 e P = 1 & 1 1 & -4 .
A matriz é a matriz diagonal que contém os autovalores:
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:

Resposta

Sim, o operador linear D = 10 & 0 0 & 5 e P = 1 & 1 1 & -4 é diagonalizável. As matrizes que diagonalizam Tdiagonalizado = D são:
O operador diagonalizado de na base fica:

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