Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes
e
que diagonaliza
e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
definido por
. Nosso objetivo é verificar se esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são conceitos chave na Álgebra Linear. Se conseguirmos encontrar dois autovalores distintos com seus respectivos autovetores, conseguimos diagonalizar
. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
A matriz de
é:
Então, a equação característica fica:
Calculando o determinante:
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para
, resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para
é
.
Para
, resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para
é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar as matrizes
e
.
A matriz
é a matriz diagonal que contém os autovalores:
A matriz
é formada pelos autovetores como colunas:
Resposta
Sim, o operador linear
é diagonalizável. As matrizes que diagonalizam
são:
O operador diagonalizado de
na base
fica:
Exercícios relacionados
Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes
e
que diagonaliza
e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
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e
que diagonaliza
e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
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que diagonaliza
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