Sejam
o conjunto dos pares ordenados de números reais. Definamos:
Com essas operações definidas sobre
, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto
que é formado por pares ordenados de números reais, ou seja,
onde
e
são números reais. A gente tem duas operações definidas nesse conjunto:
-
Soma de vetores:
-
Multiplicação por escalar:
O que a questão quer saber é se esse conjunto
, com essas operações de soma e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais
.
Para resolver isso, a gente precisa verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Vamos verificar cada um passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que precisam ser satisfeitos para que
seja um espaço vetorial sobre
. São eles:
-
Comutatividade da soma:
-
Associatividade da soma:
-
Elemento neutro da soma:
Existe um vetortal que para todo . -
Elemento inverso da soma:
Para todo, existe um tal que . -
Compatibilidade da multiplicação por escalar:
-
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
-
Distribuição da soma de vetores em relação à multiplicação por escalar:
-
Distribuição da soma de escalares em relação à multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Comutatividade da soma
Precisamos verificar se:
Usando a definição da soma:
Comparando os dois resultados:
A menos que
e
, o que não é garantido para todo
. Portanto, a soma não é comutativa.
Conclusão: O primeiro axioma não é satisfeito. Logo,
não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Após verificar os axiomas necessários, concluímos que o conjunto
com as operações definidas não forma um espaço vetorial sobre
, pois a soma não é comutativa, o que viola um dos axiomas essenciais de espaços vetoriais.
Exercícios relacionados
Mostre que os polinômios 1 -
geram todos os polinômios de grau menor ou igual a três.
Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão:
determine se
e
são vetores ortogonais:
Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares: