Sejam o conjunto dos pares ordenados de números reais. Definamos:
Com essas operações definidas sobre , perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto que é formado por pares ordenados de números reais, ou seja, onde e são números reais. A gente tem duas operações definidas nesse conjunto:
  1. Soma de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
O que a questão quer saber é se esse conjunto , com essas operações de soma e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais .
Para resolver isso, a gente precisa verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Vamos verificar cada um passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que precisam ser satisfeitos para que seja um espaço vetorial sobre . São eles:
  1. Comutatividade da soma:
  2. Associatividade da soma:
  3. Elemento neutro da soma:
    Existe um vetor tal que para todo .
  4. Elemento inverso da soma:
    Para todo , existe um tal que .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
  7. Distribuição da soma de vetores em relação à multiplicação por escalar:
  8. Distribuição da soma de escalares em relação à multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Comutatividade da soma
Precisamos verificar se:
Usando a definição da soma:
Comparando os dois resultados:
A menos que e , o que não é garantido para todo . Portanto, a soma não é comutativa.
Conclusão: O primeiro axioma não é satisfeito. Logo, não é um espaço vetorial sobre .

Resposta

Após verificar os axiomas necessários, concluímos que o conjunto com as operações definidas não forma um espaço vetorial sobre , pois a soma não é comutativa, o que viola um dos axiomas essenciais de espaços vetoriais.

Exercícios relacionados

Mostre que os polinômios 1 - geram todos os polinômios de grau menor ou igual a três.
Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão:
determine se e são vetores ortogonais:
Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares: