Sejam V o conjunto dos pares ordenados de números reais. Definamos:
(x1, y1)+(x2, y2)=(2 x1-2 y1,-x1+y1) e a(x, y)=(3 a y,-a x), a in R
Com essas operações definidas sobre V, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 - 2y1, -x1 + y1) que é formado por pares ordenados de números reais, ou seja, a(x, y) = (3a y, -a x), a in R onde e são números reais. A gente tem duas operações definidas nesse conjunto:
  1. Soma de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
O que a questão quer saber é se esse conjunto , com essas operações de soma e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais .
Para resolver isso, a gente precisa verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Vamos verificar cada um passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que precisam ser satisfeitos para que u + v = v + u para todo u, v in V seja um espaço vetorial sobre (u + v) + w = u + (v + w) para todo u, v, w in V . São eles:
  1. Comutatividade da soma:
    a(bu) = (ab)u para todo a, b in R, u in V
  2. Associatividade da soma:
    1u = u para todo u in V
  3. Elemento neutro da soma:
    Existe um vetor a(u + v) = au + av para todo a in R, u, v in V tal que (a + b)u = au + bu para todo a, b in R, u in V para todo .
  4. Elemento inverso da soma:
    Para todo , existe um tal que .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
  7. Distribuição da soma de vetores em relação à multiplicação por escalar:
  8. Distribuição da soma de escalares em relação à multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Comutatividade da soma
Precisamos verificar se:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
Usando a definição da soma:
(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 - 2y1, -x1 + y1)
(x2, y2) + (x1, y1) = (2x2 - 2y2, -x2 + y2)
Comparando os dois resultados:
(2x1 - 2y1, -x1 + y1) neq (2x2 - 2y2, -x2 + y2)
A menos que e , o que não é garantido para todo . Portanto, a soma não é comutativa.
Conclusão: O primeiro axioma não é satisfeito. Logo, não é um espaço vetorial sobre .

Resposta

Após verificar os axiomas necessários, concluímos que o conjunto com as operações definidas não forma um espaço vetorial sobre , pois a soma não é comutativa, o que viola um dos axiomas essenciais de espaços vetoriais.

Exercícios relacionados