Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do R^3. Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.
(0,3,0),(-4,0,3),(3,0,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de vetores (0,3,0),, (-4,0,3),, (3,0,4) forma uma base ortogonal do R^3. Se for, também precisamos construir uma base ortonormal a partir dessa base ortogonal. Para isso, vamos precisar entender o que são bases ortogonais e ortonormais, além de saber como verificar a ortogonalidade entre vetores e como normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Um conjunto de vetores é uma base ortogonal se todos os vetores são mutuamente ortogonais, ou seja, o produto interno (ou ponto) entre quaisquer dois vetores diferentes é zero. Além disso, os vetores devem ser não nulos e linearmente independentes.
Vamos verificar se os vetores fornecidos são ortogonais entre si. Isso significa que precisamos calcular o produto interno entre cada par de vetores:
  1. Produto interno de (0,3,0) e (-4,0,3):
    (0)(-4) + (3)(0) + (0)(3) = 0 + 0 + 0 = 0
  2. Produto interno de (0,3,0) e (3,0,4):
    (0)(3) + (3)(0) + (0)(4) = 0 + 0 + 0 = 0
  3. Produto interno de (-4,0,3) e (3,0,4):
    (-4)(3) + (0)(0) + (3)(4) = -12 + 0 + 12 = 0
Como todos os produtos internos resultaram em zero, os vetores são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Como os vetores são ortogonais e não nulos, eles também são linearmente independentes. Isso significa que o conjunto (0,3,0),, (-4,0,3),, (3,0,4) forma uma base ortogonal do R^3.

Passo 4

Agora, vamos construir uma base ortonormal a partir dessa base ortogonal. Para isso, precisamos normalizar cada vetor da base ortogonal. Normalizar um vetor significa dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma), de forma que o novo vetor tenha comprimento igual a 1.
Calculando a norma de cada vetor:
  1. Norma de (0,3,0):
    | (0,3,0) | = raiz0^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 = 3
    Vetor normalizado:
    ( 03,, 33,, 03 ) = (0,1,0)
  2. Norma de (-4,0,3):
    | (-4,0,3) | = raiz(-4)^2 + 0^2 + 3^2 = raiz16 + 0 + 9 = raiz25 = 5
    Vetor normalizado:
    ( -45,, 05,, 35 ) = ( -45,, 0,, 35 )
  3. Norma de (3,0,4):
    | (3,0,4) | = raiz3^2 + 0^2 + 4^2 = raiz9 + 0 + 16 = raiz25 = 5
    Vetor normalizado:
    ( 35,, 05,, 45 ) = ( 35,, 0,, 45 )

Resposta

A base ortonormal construída a partir dos vetores fornecidos é:
, (0, 1, 0,), (-45, 0, 35,), (35, 0, 45,) ,

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