Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do . Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base ortogonal do . Se for, também precisamos construir uma base ortonormal a partir dessa base ortogonal. Para isso, vamos precisar entender o que são bases ortogonais e ortonormais, além de saber como verificar a ortogonalidade entre vetores e como normalizá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Um conjunto de vetores é uma base ortogonal se todos os vetores são mutuamente ortogonais, ou seja, o produto interno (ou ponto) entre quaisquer dois vetores diferentes é zero. Além disso, os vetores devem ser não nulos e linearmente independentes.
Vamos verificar se os vetores fornecidos são ortogonais entre si. Isso significa que precisamos calcular o produto interno entre cada par de vetores:
Produto interno de e :
Produto interno de e :
Produto interno de e :
Como todos os produtos internos resultaram em zero, os vetores são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Como os vetores são ortogonais e não nulos, eles também são linearmente independentes. Isso significa que o conjunto forma uma base ortogonal do .
Passo 4
Agora, vamos construir uma base ortonormal a partir dessa base ortogonal. Para isso, precisamos normalizar cada vetor da base ortogonal. Normalizar um vetor significa dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma), de forma que o novo vetor tenha comprimento igual a 1.
Calculando a norma de cada vetor:
Norma de :
Vetor normalizado:
Norma de :
Vetor normalizado:
Norma de :
Vetor normalizado:
Resposta
A base ortonormal construída a partir dos vetores fornecidos é: