Mostre que a norma em satisfaz as seguintes propriedades, se é um vetor de e um escalar:
a) se, e só se, ;
b) , onde é o módulo do número e é a norma de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa mostrar que a norma em tem duas propriedades importantes:
a) A norma de um vetor é sempre maior ou igual a zero, e só é igual a zero se e somente se for o vetor nulo.
b) A norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto de vezes a norma de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e como ela funciona em espaços vetoriais como .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor em é uma medida do “tamanho” ou “comprimento” desse vetor. A norma mais comum é a norma Euclidiana, que é dada por:
Isso significa que estamos somando o quadrado de cada componente do vetor, e depois tirando a raiz quadrada desse total.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) da questão: mostrar que e que se e somente se .
Primeiro, observamos que cada termo dentro da raiz quadrada é sempre não negativo, já que o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, a soma desses termos também é não negativa. Tirando a raiz quadrada de um número não negativo, sempre obtemos um resultado não negativo. Assim, .
Agora, vamos ver quando . A raiz quadrada de zero é zero, então para , precisamos que:
Como cada , a única maneira dessa soma ser zero é se cada . Ou seja, deve ser o vetor nulo .

Passo 4

Agora vamos para a parte b) da questão: mostrar que , onde é um escalar e é a norma de .
Primeiro, vamos calcular a norma de . Seja , então:
A norma de é:
Simplificando os quadrados:
Podemos fatorar o para fora da raiz:
Aqui, usamos que , que é o valor absoluto de .

Resposta

Assim, mostramos que:
a) e se e somente se ;
b) .

Exercícios relacionados

Encontre o valor de tal que:
a)
b)
Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
a.
b.
Mostre que os vetores e geram o .
Escreva o polinômio como combinação linear dos polinômios: e .