Mostre que a norma em R^n satisfaz as seguintes propriedades, se u é um vetor de R^n e k um escalar:
a) |u| >= 0,|u|=0 se, e só se, u=0;
b) |k u|=|k| |u|, onde |k| é o módulo do número k e |u| é a norma de u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa mostrar que a norma em tem duas propriedades importantes:
a) A norma de um vetor é sempre maior ou igual a zero, e só é igual a zero se e somente se for o vetor nulo.
b) A norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto de vezes a norma de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e como ela funciona em espaços vetoriais como .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2 em é uma medida do “tamanho” ou “comprimento” desse vetor. A norma mais comum é a norma Euclidiana, que é dada por:
Isso significa que estamos somando o quadrado de cada componente do vetor, e depois tirando a raiz quadrada desse total.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) da questão: mostrar que u1^2 + u2^2 + dots + un^2 = 0 e que se e somente se .
Primeiro, observamos que cada termo dentro da raiz quadrada é sempre não negativo, já que o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, a soma desses termos também é não negativa. Tirando a raiz quadrada de um número não negativo, sempre obtemos um resultado não negativo. Assim, .
Agora, vamos ver quando . A raiz quadrada de zero é zero, então para , precisamos que:
Como cada , a única maneira dessa soma ser zero é se cada . Ou seja, deve ser o vetor nulo .

Passo 4

Agora vamos para a parte b) da questão: mostrar que k u = (k u1, k u2, dots, k un) , onde |k u| = raiz(k u1)^2 + (k u2)^2 + dots + (k un)^2 é um escalar e |k u| = raizk^2 u1^2 + k^2 u2^2 + dots + k^2 un^2 = raizk^2 (u1^2 + u2^2 + dots + un^2) é a norma de |k u| = raizk^2 cdot raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2 = |k| cdot |u| .
Primeiro, vamos calcular a norma de . Seja , então:
A norma de é:
Simplificando os quadrados:
Podemos fatorar o para fora da raiz:
Aqui, usamos que , que é o valor absoluto de .

Resposta

Assim, mostramos que:
a) e se e somente se ;
b) .

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