Mostre que a norma em
satisfaz as seguintes propriedades, se
é um vetor de
e
um escalar:
a)
se, e só se,
;
b)
, onde
é o módulo do número
e
é a norma de
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa mostrar que a norma em
tem duas propriedades importantes:
a) A norma de um vetor é sempre maior ou igual a zero, e só é igual a zero se e somente se
for o vetor nulo.
b) A norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto de
vezes a norma de
.
a) A norma de um vetor
b) A norma de um vetor multiplicado por um escalar
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e como ela funciona em espaços vetoriais como
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor
em
é uma medida do “tamanho” ou “comprimento” desse vetor. A norma mais comum é a norma Euclidiana, que é dada por:
Isso significa que estamos somando o quadrado de cada componente do vetor, e depois tirando a raiz quadrada desse total.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) da questão: mostrar que
e que
se e somente se
.
Primeiro, observamos que cada termo
dentro da raiz quadrada é sempre não negativo, já que o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, a soma desses termos também é não negativa. Tirando a raiz quadrada de um número não negativo, sempre obtemos um resultado não negativo. Assim,
.
Agora, vamos ver quando
. A raiz quadrada de zero é zero, então para
, precisamos que:
Como cada
, a única maneira dessa soma ser zero é se cada
. Ou seja,
deve ser o vetor nulo
.
Passo 4
Agora vamos para a parte b) da questão: mostrar que
, onde
é um escalar e
é a norma de
.
Primeiro, vamos calcular a norma de
. Seja
, então:
A norma de
é:
Simplificando os quadrados:
Podemos fatorar o
para fora da raiz:
Aqui, usamos que
, que é o valor absoluto de
.
Resposta
Assim, mostramos que:
a) e
se e somente se
;
b) .
a)
b)