Determine a equação reduzida, sendo x a variável independente, da reta de interseção dos planos: pi1: 3 x-y+z=3 e pi2: x+3 y+2 z=-4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação reduzida da reta de interseção de dois planos, onde x é a variável independente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a reta onde dois planos se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os planos dados:
pi1: 3x - y + z = 3
pi2: x + 3y + 2z = -4
A reta de interseção desses planos é formada pelos pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Nosso objetivo é expressar y e z em função de x.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para isolar y e z em termos de x. Começamos pela pi1:
3x - y + z = 3 Rightarrow y = 3x + z - 3 (1)
Agora, substituímos y da equação (1) na equação da pi2:
x + 3(3x + z - 3) + 2z = -4

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
x + 9x + 3z - 9 + 2z = -4
10x + 5z - 9 = -4
10x + 5z = 5
2x + z = 1 Rightarrow z = 1 - 2x (2)
Agora que temos z em função de x, substituímos novamente na equação (1):
y = 3x + (1 - 2x) - 3
y = 3x + 1 - 2x - 3
y = x - 2

Passo 5

Agora temos y e z expressos em função de x:
y = x - 2
z = 1 - 2x
Isso representa a equação reduzida da reta de interseção, onde x é a variável independente.

Resposta

A equação reduzida da reta de interseção dos planos é:
y = x - 2 e z = 1 - 2x

Exercícios relacionados