Mostre que: é uma base de sobre .

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto forma uma base para os números complexos quando consideramos os números reais como campo. Basicamente, vamos ver se qualquer número complexo pode ser escrito usando esses dois elementos e se eles são independentes entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço vetorial é e o campo é .

Passo 3

Vamos verificar se gera todo número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais. Isso significa que e combinados com coeficientes reais podem gerar qualquer número em .

Passo 4

Agora, precisamos ver se e são linearmente independentes sobre . Suponha que exista uma combinação linear , onde e são reais. Isso resulta na equação . Para essa igualdade ser verdadeira, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser zero. Assim, e . Isso mostra que a única solução possível é a trivial, ou seja, e são realmente independentes.

Resposta

Portanto, concluímos que é uma base de sobre .

Exercícios relacionados

Dada a equação cartesiana do plano , determinar um sistema de equações paramétricas de .
Sabendo que e que formam ângulo de , determinar:
a)
Determine a equação reduzida, sendo a variável independente, da reta de interseção dos planos: e .
Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema: