Mostre que: 1, i é uma base de C sobre R.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto 1, i forma uma base para os números complexos C quando consideramos os números reais R como campo. Basicamente, vamos ver se qualquer número complexo pode ser escrito usando esses dois elementos e se eles são independentes entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço vetorial é C e o campo é R.

Passo 3

Vamos verificar se 1, i gera todo número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como a + b i, onde a e b são números reais. Isso significa que 1 e i combinados com coeficientes reais podem gerar qualquer número em C.

Passo 4

Agora, precisamos ver se 1 e i são linearmente independentes sobre R. Suponha que exista uma combinação linear a cdot 1 + b cdot i = 0, onde a e b são reais. Isso resulta na equação a + b i = 0. Para essa igualdade ser verdadeira, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser zero. Assim, a = 0 e b = 0. Isso mostra que a única solução possível é a trivial, ou seja, 1 e i são realmente independentes.

Resposta

Portanto, concluímos que 1, i é uma base de C sobre R.

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