Mostre que:
é uma base de
sobre
.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o conjunto
forma uma base para os números complexos
quando consideramos os números reais
como campo. Basicamente, vamos ver se qualquer número complexo pode ser escrito usando esses dois elementos e se eles são independentes entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço vetorial é
e o campo é
.
Passo 3
Vamos verificar se
gera todo número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. Isso significa que
e
combinados com coeficientes reais podem gerar qualquer número em
.
Passo 4
Agora, precisamos ver se
e
são linearmente independentes sobre
. Suponha que exista uma combinação linear
, onde
e
são reais. Isso resulta na equação
. Para essa igualdade ser verdadeira, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser zero. Assim,
e
. Isso mostra que a única solução possível é a trivial, ou seja,
e
são realmente independentes.
Resposta
Portanto, concluímos que
é uma base de
sobre
.
Exercícios relacionados
Dada a equação cartesiana
do plano
, determinar um sistema de equações paramétricas de
.
Sabendo que
e que
formam ângulo de
, determinar:
a)
a)
Determine a equação reduzida, sendo
a variável independente, da reta de interseção dos planos:
e
.
Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema: