Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
d) definido por e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que recebe uma matriz de e a multiplica pela matriz . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo (ou kernel) e da imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Transformações Lineares, Núcleo e Imagem de uma transformação.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todas as matrizes que, quando multiplicadas por , resultam na matriz nula. Ou seja:
Passo 3
Vamos escrever a matriz de forma geral:
Então, a multiplicação fica assim:
Queremos que isso seja igual à matriz nula:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação, temos .
Da segunda equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo na quarta equação: .
Passo 5
Portanto, a única solução para X = 0 & 0 0 & 0 é a matriz zero:
Isso significa que o núcleo de é apenas a matriz nula. Assim, o núcleo de é e sua dimensão é 0.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas multiplicando por alguma matriz em .
Passo 7
Para achar uma base da imagem, precisamos verificar quais combinações lineares das colunas de M = 1 & 0 2 & -1 podemos obter. A matriz é:
Vamos verificar o posto (rank) de , que nos dirá a dimensão da imagem.
Passo 8
Observando 1 2, vemos que as colunas são 0 -1 e . Essas duas colunas são linearmente independentes porque nenhuma delas é múltiplo da outra. Portanto, o posto de é 2.
Passo 9
Como o posto de é 2, e estamos multiplicando por matrizes , a imagem de terá dimensão . Isso significa que a imagem de é todo o espaço .
Passo 10
Para encontrar uma base da imagem, podemos considerar as imagens das matrizes canônicas de F(1 & 0 0 & 0) = 1 & 0 2 & -1, F(0 & 1 0 & 0) = 0 & 1 0 & 2, F(0 & 0 1 & 0) = 0 & 0 2 & -1, F(0 & 0 0 & 1) = 0 & 0 0 & -1 . As matrizes canônicas são aquelas que têm um 1 em uma posição e 0 nas outras. Multiplicando por cada uma delas, obtemos:
Essas matrizes formam uma base para a imagem de .
Resposta
O núcleo de é apenas a matriz zero e tem dimensão 0. A imagem de é todo o espaço e tem dimensão 4.