Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
d) F: M2(R)-M2(R) definido por F(X)=MX, forall X in M2(R) e M=(cc1 & 0 2 & -1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear 1 & 0 2 & -1 que recebe uma matriz de e a multiplica pela matriz . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo (ou kernel) e da imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Transformações Lineares, Núcleo e Imagem de uma transformação.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo de F(X) = M X = 0 . O núcleo é o conjunto de todas as matrizes que, quando multiplicadas por , resultam na matriz nula. Ou seja:

Passo 3

Vamos escrever a matriz X = a & b c & d de forma geral:
M X = 1 & 0 2 & -1 a & b c & d = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 2 cdot a + (-1) cdot c & 2 cdot b + (-1) cdot d = a & b 2a - c & 2b - d
Então, a multiplicação fica assim:
a & b 2a - c & 2b - d = 0 & 0 0 & 0
Queremos que isso seja igual à matriz nula:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
a = 0 b = 0 2a - c = 0 2b - d = 0
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação, temos .
  2. Da segunda equação, .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Substituindo na quarta equação: .

Passo 5

Portanto, a única solução para X = 0 & 0 0 & 0 é a matriz zero:
Isso significa que o núcleo de é apenas a matriz nula. Assim, o núcleo de é e sua dimensão é 0.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas multiplicando por alguma matriz em .

Passo 7

Para achar uma base da imagem, precisamos verificar quais combinações lineares das colunas de M = 1 & 0 2 & -1 podemos obter. A matriz é:
Vamos verificar o posto (rank) de , que nos dirá a dimensão da imagem.

Passo 8

Observando 1 2, vemos que as colunas são 0 -1 e . Essas duas colunas são linearmente independentes porque nenhuma delas é múltiplo da outra. Portanto, o posto de é 2.

Passo 9

Como o posto de é 2, e estamos multiplicando por matrizes , a imagem de terá dimensão . Isso significa que a imagem de é todo o espaço .

Passo 10

Para encontrar uma base da imagem, podemos considerar as imagens das matrizes canônicas de F(1 & 0 0 & 0) = 1 & 0 2 & -1, F(0 & 1 0 & 0) = 0 & 1 0 & 2, F(0 & 0 1 & 0) = 0 & 0 2 & -1, F(0 & 0 0 & 1) = 0 & 0 0 & -1 . As matrizes canônicas são aquelas que têm um 1 em uma posição e 0 nas outras. Multiplicando por cada uma delas, obtemos:
Essas matrizes formam uma base para a imagem de .

Resposta

O núcleo de é apenas a matriz zero e tem dimensão 0. A imagem de é todo o espaço e tem dimensão 4.

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