Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
c) F(x, y)=(3 y, 0)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a aplicação de para é um operador linear. Isso envolve entender o que é um operador linear e como testar se uma função satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos testar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Testando a Aditividade
Sejam F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2) = (3(y1 + y2), 0) = (3y1 + 3y2, 0) e F(u) + F(v) = (3y1, 0) + (3y2, 0) = (3y1 + 3y2, 0) .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Testando a Homogeneidade
Seja F(ku) = F(kx, ky) = (3(ky), 0) = (k cdot 3y, 0) = k(3y, 0) um número real qualquer e kF(u) = k(3y, 0) = (k cdot 3y, 0) .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a aplicação é um operador linear.

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