Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
c)
c)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a aplicação
de
para
é um operador linear. Isso envolve entender o que é um operador linear e como testar se uma função satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos testar essas duas propriedades para a função dada.
Passo 3
Testando a Aditividade
Sejam
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Testando a Homogeneidade
Seja
um número real qualquer e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a aplicação
é um operador linear.
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em
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e)
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d) definido por
e
d)
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f)
f)